Question

1.Занумеруем все простые числа в порядке возрастания: p1=2, p2=3, ... . Может ли среднее арифметическое (p1+...+pn)/nпри каком-нибудь n≥2 быть простым числом? Пожалуйста, объясните решение!

Answer 1

Ответ:

не может

Пошаговое объяснение:

сумма нечетного количества простых чисел  - четное число (одно четное + четное количество нечетных) = 2S

поэтому т.к. их нечетное количество, то 2S : (2k+1) = четное число

но среднее арифметическое строго больше наименьшего члена, если все члены не равны, значит, > 2 => не простое число

если их четное количество, то сумма нечетная, она вообще не делится на четное число, соответственно не может равняться целому числу

Answer 2

Да, среднее арифметическое простых чисел, описанное как (p1 + ... + pn) / n, может быть простым числом при некоторых значениях n. Давайте проанализируем это.

Пусть S_n = p1 + p2 + ... + pn, то есть сумма первых n простых чисел.

Среднее арифметическое простых чисел можно записать как S_n / n.

Мы хотим, чтобы S_n / n было простым числом, т.е. S_n должно быть кратно n. Это возможно, если существует целое k такое, что:

S_n = kn.

Мы знаем, что S_n = p1 + p2 + ... + pn. Это сумма первых n простых чисел.

Так как n простые числа перечислены по порядку возрастания, S_n должно быть больше n² (потому что n простых чисел ≥ n). Таким образом, у нас есть неравенство:

S_n > n².

Теперь мы можем записать:

kn < S_n < n².

Из этого следует:

k < n.

Таким образом, существует целое k, такое что:

kn < S_n < n², или k < n и S_n = kn.

Таким образом, если мы можем найти простое число n, которое делит S_n, то S_n / n будет простым числом. Например, если S_n делится на n, то S_n / n будет простым числом.

Следовательно, среднее арифметическое простых чисел (p1 + ... + pn) / n может быть простым числом при некоторых значениях n, где n - простое число и S_n делится на n.