Question

Найдите производную функции: a) y = cos ln x б) y = arctg√x

Answer 1

a) -sin (1/x)

b)

$\sqrt{1 \div (1 + {x}^{2}) }$

Answer 2

Давайте найдем производные данных функций:

a) y = cos(ln(x))

Для нахождения производной этой функции, мы можем воспользоваться цепным правилом (chain rule). Сначала найдем производную внутренней функции, затем внешней функции и перемножим их.

1. Производная внутренней функции (ln(x)):

d/dx (ln(x)) = 1/x

2. Производная внешней функции (cos(u)):

d/dx (cos(u)) = -sin(u)

Теперь мы можем применить цепное правило:

d/dx (cos(ln(x))) = -sin(ln(x)) * (1/x)

Таким образом, производная функции y = cos(ln(x)) равна:

dy/dx = -sin(ln(x)) / x

b) y = arctan(√x)

Для нахождения производной этой функции, мы можем воспользоваться правилом дифференцирования арктангенса:

d/dx (arctan(u)) = 1 / (1 + u^2) * du/dx

В данном случае u = √x, поэтому du/dx = (1/2) * x^(-1/2).

Теперь мы можем выразить производную функции y = arctan(√x):

dy/dx = 1 / (1 + (√x)^2) * (1/2) * x^(-1/2)

dy/dx = 1 / (1 + x) * (1/2) * x^(-1/2)

dy/dx = 1 / (2√x(1 + x))

Таким образом, производная функции y = arctan(√x) равна:

dy/dx = 1 / (2√x(1 + x))