Question

Помогите дифференцировать это: 1/3 * pi * x^2 * sqrt((s/pi*x)^2 - x^2) ; s=const (просто число)С решение, пожалуйста, у меня не получается это решить правильно

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте дифференцируем данное выражение по переменной x, используя правило производной произведения и правило дифференцирования композиции функций (цепное правило).

Исходное выражение: f(x) = (1/3) * π * x^2 * √((s/πx)^2 - x^2)

Сначала выразим его в более удобной форме: f(x) = (1/3) * π * x^2 * √(s^2/π^2x^2 - x^2)

Теперь давайте продифференцируем это по x:

f'(x) = (1/3) * π * [2x * √(s^2/π^2x^2 - x^2)] + π * x^2 * [d/dx(√(s^2/π^2x^2 - x^2))]

Давайте дифференцируем каждое слагаемое отдельно:

1. Дифференцирование первого слагаемого: (1/3) * π * [2x * √(s^2/π^2x^2 - x^2)] = (2/3) * π * x * √(s^2/π^2x^2 - x^2)

2. Дифференцирование второго слагаемого: π * x^2 * [d/dx(√(s^2/π^2x^2 - x^2))]

Для дифференцирования второго слагаемого, мы можем использовать цепное правило. Обозначим g(x) = √(s^2/π^2x^2 - x^2), тогда:

g'(x) = d/dx(√(s^2/π^2x^2 - x^2))

Теперь применим цепное правило:

g'(x) = d/dx(g) * d/dx(s^2/π^2x^2 - x^2)

1. Найдем производную d/dx(s^2/π^2x^2 - x^2): d/dx(s^2/π^2x^2 - x^2) = (s^2/π^2) * d/dx(1/x^2) - d/dx(x^2) = (s^2/π^2) * (-2/x^3) - 2x = (-2s^2/π^2x^3) - 2x

2. Теперь умножим полученное значение на производную g(x):

π * x^2 * [d/dx(√(s^2/π^2x^2 - x^2))] = π * x^2 * [-2s^2/π^2x^3 - 2x] * g'(x)

Теперь мы можем записать f'(x) полностью:

f'(x) = (2/3) * π * x * √(s^2/π^2x^2 - x^2) + π * x^2 * [-2s^2/π^2x^3 - 2x] * g'(x)

где g'(x) - производная g(x), которую мы рассчитали ранее.

Это и есть производная исходного выражения по переменной x.