Question

Теория вероятности. Пожалуйста. Доказать, что математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании равно вероятности р появления события А. Указание . Дискретная случайная величина X—число появлений события в одном испытании — имеет только два возможных значения: x1=1 (событие А наступило) и x2=0 (событие А не наступило).

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Случайная величина $X\sim \left(\begin{array}{ccc}0&& 1\\ 1-p&& p\end{array}\right)$ - дискретная, то математическое ожидание

$MX=\displaystyle \sum_i x_ip_i=0* (1-p)+1*p=p$

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся формулой математического ожидания для дискретной случайной величины:

$E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)$

где $x_i$ - значения случайной величины (в данном случае 0 и 1), а $P(X = x_i)$ - вероятность того, что случайная величина примет значение $x_i$.

В данном случае у нас есть два возможных значения для случайной величины X: $x_1 = 1$ (событие А наступило) и $x_2 = 0$ (событие А не наступило).

Теперь рассмотрим математическое ожидание $E(X)$ для случайной величины X, которая представляет собой число появлений события A в одном испытании:

$E(X) = x_1 \cdot P(X = x_1) + x_2 \cdot P(X = x_2)$

У нас $x_1 = 1$ и $x_2 = 0$, поэтому формула упрощается до:

$E(X) = 1 \cdot P(X = 1) + 0 \cdot P(X = 0)$

Так как $P(X = 1)$ представляет вероятность появления события A в одном испытании (то есть $P(X = 1) = P(A) = p$), и $P(X = 0)$ представляет вероятность того, что событие A не наступило ($P(X = 0) = P(\neg A) = 1 - p$), мы можем переписать выражение для $E(X)$:

$E(X) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1 - p)$ $E(X) = p$

Таким образом, математическое ожидание числа появлений события A в одном испытании равно вероятности $p$ появления события A.