Question

ЗАДАЧА ДЛЯ 5-7 КЛАССОВ В ДВЕ СТРОЧКИ! 98 БАЛЛОВ! Решившему заранее огромное спасибо!При каких n правильный треугольник нельзя и можно разрезать на n меньших правильных треугольников?Примечание. Ответы типа "Ну, на 1 и 4 можно. И на 16 тоже..." или "Ну, можно на 4ⁿ..." категорически НЕ подходят!!! Нужно с полным обоснованием и доказательством того, что при таких-то n это можно сделать, а при таких-то - нельзя!

Answer 1

Ответ:

n = 4,6,7,8,9 …. .Число 5 выпадает из последовательности. На 5 правильных треугольников поделить правильный треугольник нельзя.

Пошаговое объяснение:

Возьмем правильный треугольник АВС, основание треугольника АС, вершина В. Правильный треугольник должен иметь все углы по 60 градусов. Т.е. при разрезании треугольника углы делить нельзя. Значит, надо делить стороны.

Будем его делить. Для этого надо провести лини разреза. Линии проводятся через точки, лежащие на сторонах треугольника. Если провести одну линию разреза через середину сторон АВ и ВС, то получится правильный треугольник вверху и трапеция внизу. Трапецию внизу можно поделить на три правильных треугольника. Для этого надо провести линии через середины сторон АВ и АС и ВС и АС. Получится из трапеции три треугольника. Таким образом, правильный треугольник можно поделить на четыре правильных треугольника и это будет минимальное число n.

Теперь поделим сторону АВ на к частей: АА1, А1А2, А2А3 …. Ак-1В. Через точку А1 проведем прямую параллельно стороне АС - прямую  А1С1. Таким образом, мы от треугольника АВС отрезали трапецию АА1С1С. Получили один правильный треугольник А1ВС1 и одну трапецию. Из соображений подобия можно показать, что получившуюся  трапецию можно разрезать на 2к-1 частей. Учитывая, еще один треугольник при вершине В всего треугольников получится 2к, к = 2,3,4 … , т.е. все четные числа, начиная с четырех. Таким образом, мы показали как можно разделить правильный треугольник на заданное четное число частей.

Теперь, проделаем ту же процедуру, что и раньше, получим трапецию и треугольник при вершине. Трапецию можно, как было показано выше, поделить на 2к-1 частей. Так же мы показали ранее, что треугольник при вершине можно поделить на 4 части. Тогда, если мы поделим трапецию на 2к-1 частей, а треугольник при вершине на 4 части, то получим 2к-1+4=2к+3 части, к=2,3,4,5… , т.е. все нечетные числа начиная с семи (при к=2).

Таким образом, мы показали как поделить треугольник на n частей, где

n = {(2к,  к=2,3,4…

       2к+3,к=2,3,4)}

или n = 4,6,7,8,9 …. . Число 5 выпадает из последовательности. На 5 правильных треугольников поделить правильный треугольник нельзя.

Answer 2

Правильный треугольник можно разрезать на n меньших правильных треугольников только в случае, когда n является квадратом натурального числа. Давайте это докажем.

Предположим, у нас есть правильный треугольник с n сторонами. Мы хотим разрезать его на меньшие правильные треугольники.

1. Если n = 1, то треугольник уже является правильным треугольником, и его нельзя разрезать на меньшие треугольники.

2. Если n = 4, то мы можем разделить его на 4 меньших правильных треугольника, как если бы мы разделили квадрат на 4 равных треугольника.

3. Теперь рассмотрим случай, когда n больше 4 и не является квадратом натурального числа. Рассмотрим треугольник с n сторонами. Мы можем провести диагональ, соединяющую одну из вершин с центром треугольника. Эта диагональ разделит треугольник на два меньших правильных треугольника. Теперь у нас есть два треугольника, и мы можем продолжить этот процесс, разделяя каждый из них на два меньших треугольника. Мы видим, что в результате мы всегда будем иметь степень двойки меньших треугольников (2, 4, 8, 16 и так далее). Таким образом, мы не сможем получить ровно n меньших треугольников, если n не является степенью двойки.

Итак, при n, являющемся квадратом натурального числа, мы можем разрезать правильный треугольник на n меньших правильных треугольников, в противном случае это невозможно.