Question

Докажите, что всякий треугольник можно разрезать на 3 меньших тупоугольных треугольника. Докажите, что всякий треугольник можно разрезать на 2018 меньших тупоугольных треугольников. При каких натуральных N произвольный треугольник заведомо можно разрезать на N меньших тупоугольных треугольника

Answer 1

Решение смотрите на картинке.

Answer 2

Докажем утверждение по частям:

1. Всякий треугольник можно разрезать на 3 меньших тупоугольных треугольника.

Пусть у нас есть треугольник ABC. Проведем медиану AM из вершины A к середине BC. Это разделит треугольник ABC на два треугольника: ABM и ACM. Оба этих треугольника являются тупоугольными, так как угол BMA и угол CMA являются прямыми (углы медианы прямоугольного треугольника тоже являются прямыми). Теперь возьмем отрезок BM и проведем медиану BN. Это разделит треугольник ABM на два тупоугольных треугольника: ABN и BMN. Аналогично, медиана CN разделит треугольник ACM на два тупоугольных треугольника: ACN и CMN. Таким образом, треугольник ABC разбился на 3 тупоугольных треугольника: ABN, BMN и CMN.

2. Всякий треугольник можно разрезать на 2018 меньших тупоугольных треугольников.

Мы можем повторить процесс, описанный в первой части, 2017 раз. Таким образом, каждая из сторон исходного треугольника будет разделена на 2018 равных частей, и все эти отрезки можно соединить с вершинами треугольника, чтобы получить 2018 меньших тупоугольных треугольников.

3. Найдем условия, при которых произвольный треугольник можно разрезать на N меньших тупоугольных треугольников.

Пусть N - натуральное число, и мы хотим разрезать треугольник на N меньших тупоугольных треугольников.

Если N делится на 3 без остатка, то аналогично доказательству из первой части мы можем разрезать треугольник на N/3 тупоугольных треугольников.

Если N не делится на 3, но делится на 3 с остатком r (где 0 < r < 3), то мы можем разрезать треугольник на (N-r)/3 тупоугольных треугольников и еще добавить r маленьких треугольников в какой-либо из уже разрезанных треугольников. Таким образом, мы все равно получим N меньших тупоугольных треугольников.

Итак, произвольный треугольник можно разрезать на N меньших тупоугольных треугольников в следующих случаях:

• N делится на 3 без остатка.
• N не делится на 3, но делится на 3 с остатком r (где 0 < r < 3).