Question

Исследуйте функцию и постройте ее график у = х^3+х+15

Answer 1

ДАНО:Y(x) = x³ + 1*x + 15

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения D(y) ∈ R,  Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая.

2. Вертикальная асимптота - нет - нет разрывов.

3. Наклонная асимптота - y = k*x+b.

k = lim(+∞) Y(x)/x = +∞ - нет наклонной (горизонтальной) асимптоты.  

4. Периода - нет - не тригонометрическая функция.

5. Пересечение с осью OХ.  

X1 = - 2.33... (?) - нуль функции.

6. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательная при Х∈(-∞;Х1] и положительна при Х∈[X1;+∞)

7. Пересечение с осью OY. Y(0) =   15

8. Исследование на чётность.  

В полиноме есть и чётные и нечётные степени - функция общего вида.

Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x),  Функция ни чётная, ни нечётная.  

9. Первая производная.    Y'(x) =  3*x² + 1 = 0

Корней нет.

10. Локальных экстремумов  -   НЕТ

11. Интервалы возрастания и убывания.  

Возрастает во всей ООФ.

12. Вторая производная - Y"(x) = 6* x  = 0

Корень производной - точка перегиба Х₆=0

13. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆ = 0]

Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆ = 0; +∞).

14. График в приложении.

Дополнительно рисунок с более подробным исследованием функции третьего порядка.

Answer 2

Для исследования функции y = x^3 + x + 15 и построения её графика, давайте выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции, чтобы определить экстремумы и точки перегиба.

2. Найдем вторую производную для определения характера экстремумов.

3. Рассмотрим поведение функции при x -> +∞ и x -> -∞.

4. Найдем и оценим корни уравнения y = 0.

5. Построим график функции.

Шаг 1: Найдем производную функции y = x^3 + x + 15:

y' = 3x^2 + 1

Шаг 2: Найдем вторую производную:

y'' = 6x

Шаг 3: Рассмотрим пределы при x -> +∞ и x -> -∞:

При x -> +∞, как исследуется функция y = x^3, функция также будет стремиться к +∞. То же самое будет с y = x^3 + x. Таким образом, функция y = x^3 + x + 15 будет стремиться к +∞ при x -> +∞.

При x -> -∞, функция y = x^3 также будет стремиться к -∞, и y = x^3 + x также будет стремиться к -∞. Таким образом, функция y = x^3 + x + 15 будет стремиться к -∞ при x -> -∞.

Шаг 4: Найдем корни уравнения y = 0:

x^3 + x + 15 = 0

Это уравнение не имеет рациональных корней. Чтобы найти его корни, мы могли бы использовать численные методы, такие как метод Ньютона.

Шаг 5: Построим график функции y = x^3 + x + 15:

Для построения графика можно воспользоваться графическими программами или калькуляторами. График будет иметь форму кубической кривой, склонной вверх, и стремящейся к +∞ при увеличении x.

Однако, чтобы точно определить форму графика и его корни, потребуется более детальное исследование или использование программного обеспечения для построения графиков.