Question

Найти промежутки убывания и возрастания функции точки максимума и минемума функции f(x)=x^3-4x^2+4x+3

Answer 1

Ответ:

f'(x) = 3x^2 - 8x +4

f'(x) = 0

3x^2 - 8x +4 = 0

x = 2/3; x = 2

Xmax = 2/3

Xmin = 2

Возрастает на промежутках от минус бесконечности до 2/3 и от 2 до плюс бесконечности

У бывает на промежутке от 2/3 до 2

Answer 2

Чтобы найти промежутки убывания и возрастания функции $f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x + 3$, мы сначала найдем её производную и выясним, где производная положительна (функция возрастает) и где она отрицательна (функция убывает).

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = 3x^2 - 8x + 4$

2. Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю. Это могут быть точки максимума и минимума функции: $3x^2 - 8x + 4 = 0$

Чтобы решить это уравнение, используем квадратное уравнение или методы факторизации. Давайте используем квадратное уравнение: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Где $a = 3$, $b = -8$, и $c = 4$. Подставляя значения, получаем: $x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(3)(4)}}{2(3)}$

Вычисляем корни: $x_1 = \frac{8 + \sqrt{16}}{6} = \frac{8 + 4}{6} = \frac{12}{6} = 2$ $x_2 = \frac{8 - \sqrt{16}}{6} = \frac{8 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Итак, у нас есть две точки, где производная $f'(x)$ равна нулю: $x = 2$ и $x = \frac{2}{3}$.

3. Теперь нам нужно определить знак производной в интервалах между этими точками и за пределами их.

   a. Для $x < \frac{2}{3}$, возьмем $x = 0$ и проверим значение производной: $f'(0) = 3(0)^2 - 8(0) + 4 = 4 > 0$ Значит, функция $f(x)$ возрастает при $x < \frac{2}{3}$.

   b. Для $\frac{2}{3} < x < 2$, возьмем $x = 1$ и проверим значение производной: $f'(1) = 3(1)^2 - 8(1) + 4 = -1 < 0$ Значит, функция $f(x)$ убывает при $\frac{2}{3} < x < 2$.

   c. Для $x > 2$, возьмем $x = 3$ и проверим значение производной: $f'(3) = 3(3)^2 - 8(3) + 4 = 27 - 24 + 4 = 7 > 0$ Значит, функция $f(x)$ возрастает при $x > 2$.

Итак, мы нашли следующие промежутки:

• Функция $f(x)$ убывает на интервале $\frac{2}{3} < x < 2$.
• Функция $f(x)$ возрастает на интервалах $x < \frac{2}{3}$