Question

Решить уравнение (уравнение с разделяющимися переменными или сводное к нему) Дифференциальные уравнения. Помогите пожалуйста. Поступил на третий курс прикладной математики. До этоговысшую математику никогда не учил. Сложно разобраться. Нужно написать домашнюю контрольную. Буду очень признателен.

Answer 1

$y'xlnx+y=2lnx\\ y'lnx+y*\dfrac{1}{x}=\dfrac{2lnx}{x}\\ \left[x'=\dfrac{1}{x},\:(fg)'=f'g+fg'\right]\\ (ylnx)'_x=\dfrac{2lnx}{x}\\ ylnx=\int\dfrac{2lnx}{x}dx\\ ylnx=\int 2lnxd(lnx)\\ ylnx=ln^2x+C\\ \left[0*lne=ln^2e+C=>0=1+C=>C=-1\right]\\ ylnx=ln^2x-1\\ y=lnx-\dfrac{1}{lnx}$

Answer 2

Конечно, я помогу вам разобраться с дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Давайте начнем с базового примера и посмотрим, как его решить.

Предположим, у вас есть следующее дифференциальное уравнение:

dy/dx = x^2 - 2y

Чтобы решить это уравнение, давайте разделим переменные. Это означает, что мы будем перемещать все члены, содержащие y, на одну сторону уравнения, а все члены, содержащие x, на другую сторону:

dy/dx + 2y = x^2

Теперь мы можем применить интегрирование с обеих сторон уравнения:

∫(1/2y) dy = ∫x^2 dx

Интегрируем обе стороны:

(1/2) * ln|y| + C1 = (1/3) * x^3 + C2

Где C1 и C2 - произвольные константы, которые появляются при интегрировании. Мы можем объединить их в одну константу:

(1/2) * ln|y| = (1/3) * x^3 + C

Теперь давайте избавимся от натурального логарифма, возведя обе стороны в экспоненту:

|y| = e^(2/3 * x^3 + C)

Теперь рассмотрим абсолютное значение |y|, которое может быть положительным или отрицательным. Для учебных целей, мы можем рассмотреть два случая:

1. y > 0:

   y = e^(2/3 * x^3 + C)

2. y < 0:

   y = -e^(2/3 * x^3 + C)

Это общее решение дифференциального уравнения. Вы можете использовать начальные условия, если они даны, чтобы определить конкретные значения констант C и получить частное решение.

Помните, что это всего лишь один из примеров, и дифференциальные уравнения могут быть более сложными. Если у вас есть конкретное уравнение, которое вас интересует, пожалуйста, предоставьте его, и я помогу вам решить его.