Question

Помоги вычислить площадь фигуры,ограниченной линий. 1) y=4x-x^2,y=3x,x=0 2) y=2x-x^2,y=x,y=0 3)y=2x-x^2,y=--x,y=0

Answer 1

Ответ:

Шаг 1: находим координаты х точек перечечения графиков y=x^2+1 и y=-x+3.

x^2+1 = -x+3; x^2+x-2 = 0; x1 = -2; x2 = 1.

Шаг 2: Находим определенный интеграл функции y = -x+3 в пределах от -2 до 1.

Первообразная этой функции будет Y = -1/2*x^2 + 3x + С

Подставляя пределы интегрирования получаем площадь под функцией S1 = -1/2 + 3 + 2 + 6 = 10,5.

Шаг 3: Находим определенный интеграл функции y = x^2+1 в пределах от -2 до 1.

Первообразная этой функции будет Y = 1/3*x^3 + x + С

Подставляя пределы интегрирования получаем площадь под функцией S2 = 1/3 + 1 + 8/3 +2 = 6.

Шаг 4: S = S1-S2; S = 10,5-6; S = 4,5.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной данными линиями, мы можем использовать метод интегрирования. Нам нужно найти точки пересечения линий и затем интегрировать разницу между ними по оси x.

1. y = 4x - x^2, y = 3x, x = 0

Сначала найдем точки пересечения этих линий. Поставим уравнения равными друг другу и решим для x:

4x - x^2 = 3x

x^2 - x = 0

x(x - 1) = 0

x = 0 или x = 1

Теперь мы можем найти соответствующие значения y:

Для x = 0, y = 3 * 0 = 0 Для x = 1, y = 3 * 1 = 3

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (0, 0) и (1, 3).

Теперь мы можем интегрировать разницу между двумя кривыми по оси x:

S = ∫[0, 1] (4x - x^2 - 3x) dx

S = ∫[0, 1] (x(4 - x - 3)) dx

S = ∫[0, 1] (x(1 - x)) dx

S = ∫[0, 1] (x - x^2) dx

Теперь вычислим этот интеграл:

S = [x^2/2 - x^3/3] от 0 до 1

S = (1/2 - 1/3) - (0 - 0) = 1/6

Площадь фигуры, ограниченной этими линиями, равна 1/6 квадратных единиц.

2. y = 2x - x^2, y = x, y = 0

Найдем точки пересечения линий:

2x - x^2 = x

x^2 - x = 0

x(x - 1) = 0

x = 0 или x = 1

Для x = 0, y = 0 Для x = 1, y = 1

У нас есть две точки пересечения: (0, 0) и (1, 1).

Теперь интегрируем разницу между кривыми по оси x:

S = ∫[0, 1] (2x - x^2 - x) dx

S = ∫[0, 1] (x(2 - x - 1)) dx

S = ∫[0, 1] (x(1 - x)) dx

S = ∫[0, 1] (x - x^2) dx

Вычислим этот интеграл:

S = [x^2/2 - x^3/3] от 0 до 1

S = (1/2 - 1/3) - (0 - 0) = 1/6

Площадь фигуры равна 1/6 квадратных единиц, как и в первом случае.

3. y = 2x - x^2, y = -x, y = 0

Найдем точки пересечения линий:

2x - x^2 = -x

x^2 - 3x = 0

x(x - 3) = 0

x = 0 или x = 3

Для x = 0, y = 0 Для x = 3, y = -3

У нас есть две точки пересечения: (0, 0) и (3, -3).

Теперь интегрируем разницу между кривыми по оси x:

S = ∫[0, 3] (2x - x^2 + x) dx

S = ∫[0, 3] (x(2 - x + 1)) dx

S = ∫[0, 3] (x(3 - x)) dx

S = ∫[0, 3] (3x - x^2) dx

Вычислим этот интеграл:

S = [3x^2/2 - x^3/3] от 0 до 3

S = (9/2 - 9/3) - (0 - 0) = (9/2 - 3) = 3/2

Площадь фигуры равна 3/2 квадратных единиц.