Question

Найдите наименьший положительный корень уравнения sin^3(x)cos(x)-cos^3(x)sin(x)=√3/8

Answer 1

Ответ:

Решение тригонометрических уравнений.

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение:

sin^3(x)cos(x) - cos^3(x)sin(x) = √3/8.

Мы можем воспользоваться формулами для синуса и косинуса суммы углов:

sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b),

cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b).

Применим эти формулы к нашему уравнению:

sin^3(x)cos(x) - cos^3(x)sin(x) = √3/8, sin(x)(sin^2(x)cos(x) - cos^2(x)sin(x)) = √3/8.

Теперь можно заметить, что в скобках у нас есть разность sin^2(x)cos(x) - cos^2(x)sin(x). Мы можем вынести sin(x) за скобки:

sin(x)(sin^2(x)cos(x) - cos^2(x)sin(x)) = sin(x)(sin(x)cos(x)(sin(x) - cos(x))) = √3/8.

Мы знаем, что sin(x) и cos(x) не могут быть оба равными нулю, поэтому sin(x)cos(x) не равно нулю. Мы можем разделить обе стороны уравнения на sin(x)cos(x):

sin(x) - cos(x) = √3/8sin(x)cos(x).

Теперь мы можем воспользоваться тригонометрическими идентичностями:

sin(x) = sin(π/6) = 1/2, cos(x) = cos(π/6) = √3/2.

Подставим эти значения в уравнение:

1/2 - √3/2 = (√3/8)(1/2)(√3/2).

Сокращаем числитель и знаменатель:

1/2 - √3/2 = (√3/16).

Теперь добавим √3/2 ко обеим сторонам:

1/2 = √3/16 + √3/2.

Умножим обе стороны на 2:

1 = √3/8 + √3.

Выразим √3/8:

√3/8 = 1 - √3.

Теперь мы можем найти значение x:

sin(x) = 1/2.

Это значение sin(x) соответствует углу π/6. Таким образом, наименьший положительный корень уравнения sin^3(x)cos(x) - cos^3(x)sin(x) = √3/8 равен x = π/6.