Question

Решите задачу. В прямоугольном параллелепипеде стороны оснований 9 и 14 м, диагональ осевого сечения составляет с плоскостью основания ∠45°. Найдите боковое ребро, площадь боковой поверхности и объём параллелепипеда.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Алгебра и геометрия в деле! Первым делом найдем боковое ребро параллелепипеда. Пусть $a$ и $b$ - стороны основания, $l$ - боковое ребро. Тогда, используя тригонометрический косинус:

$l = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos{\theta}}$

Где $\theta$ - угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания. В данном случае, $\theta = 45^\circ$, но мы работаем в радианах, поэтому $\theta = \frac{\pi}{4}$.

$l = \sqrt{9^2 + 14^2 - 2 \cdot 9 \cdot 14 \cdot \cos{\frac{\pi}{4}}}$

$l = \sqrt{81 + 196 - 252 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$

$l = \sqrt{277 - 126 \sqrt{2}}$

Теперь, площадь боковой поверхности параллелепипеда:

$S_{\text{бок}} = 2ab + 2lh$

Где $h$ - высота параллелепипеда. В данном случае $h = 14 \sin{\frac{\pi}{4}} = 14 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 7 \sqrt{2}$.

$S_{\text{бок}} = 2 \cdot 9 \cdot 14 + 2 \cdot \sqrt{277 - 126 \sqrt{2}} \cdot 7 \sqrt{2}$

$S_{\text{бок}} = 252 + 14 \sqrt{277 - 126 \sqrt{2}}$

Наконец, объем параллелепипеда:

$V = abh$

$V = 9 \cdot 14 \cdot 7 \sqrt{2}$

$V = 882 \sqrt{2}$

Итак, боковое ребро $l$ равно $\sqrt{277 - 126 \sqrt{2}}$, площадь боковой поверхности $S_{\text{бок}}$ равна $252 + 14 \sqrt{277 - 126 \sqrt{2}}$, а объем $V$ равен $882 \sqrt{2}$.