Question

Найти угол между прямой и между прямой, которая задана двумя точками: А (-2,-3,1) и В (1,1,1). *хотелось бы, чтобы первую прямую привели в виде общего уравнения

Answer 1

Если a - направляющий вектор первой прямой, а b - направляющий вектор второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми:

cos φ =   |a · b|/ |a| · |b|.  

Если дано каноническое уравнение прямой

( x - x0)/ l  =   (y - y0)/ m  =   (z - z0)/ n,  то направляющий вектор имеет вид {l; m; n}.

Находим вектор АВ по точкам А (-2,-3,1) и В (1,1,1).

АВ = (1-(-2)=3; 1-(-3)=4; 1-1=0) = (3; 4; 0).

У первой прямой направляющий вектор дан в уравнении:

n = (-2; -1; 3).

Ответ: cos α = |3*(-2)+4*(-1)+0*3|/(√(9 + 16 + 0)*√(4 + 1 + 9)) =

                     = |-6 - 4 + 0|/5√14  = 10/5√14 = 2/√14 = 2√14/14 = √14/7.

α = arc cos(√14/7) = arc cos 0,5345 = 1,00685 радиан или  57,6885°.

Примечание. прямая в пространстве может быть в виде общих уравнений двух пересекающихся плоскостей.

Для решения данной задачи нужны направляющие векторы прямых.

Answer 2

Для нахождения угла между двумя прямыми в трехмерном пространстве, нужно использовать следующую формулу:

$$\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}}}{{\lVert \mathbf{n_1} \rVert \lVert \mathbf{n_2} \rVert}},$$

где $\theta$ - угол между прямыми, $\mathbf{n_1}$ и $\mathbf{n_2}$ - направляющие векторы прямых, и $\cdot$ - скалярное произведение векторов.

Направляющий вектор для первой прямой можно найти из уравнения прямой, которое можно составить, зная координаты двух точек $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ на прямой. Направляющий вектор будет иметь вид $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$.

Для точек $A(-2, -3, 1)$ и $B(1, 1, 1)$ направляющий вектор первой прямой будет $(1 - (-2), 1 - (-3), 1 - 1) = (3, 4, 0)$.

Направляющий вектор для второй прямой можно найти таким же образом, используя координаты двух других точек на второй прямой.

Сначала найдем направляющий вектор для второй прямой, используя точки $C(x, y, z)$ и $D(x', y', z')$ на второй прямой. Тогда направляющий вектор будет $(x' - x, y' - y, z' - z)$.

Теперь, используя направляющие векторы $\mathbf{n_1} = (3, 4, 0)$ и $\mathbf{n_2}$ для обеих прямых, мы можем найти угол $\theta$ между прямыми, подставив значения в формулу для косинуса угла:

$$\cos(\theta) = \frac{{3 \cdot (x' - x) + 4 \cdot (y' - y) + 0 \cdot (z' - z)}}{{\sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} \cdot \sqrt{(x' - x)^2 + (y' - y)^2 + (z' - z)^2}}}$$

Выражение $\cos(\theta)$ даст вам косинус угла между прямыми. Используя арккосинус (обратную функцию косинуса), вы можете найти значение угла $\theta$.