Question

Дан правильный четырёхугольник. Отметим его центр, все вершины, также на каждой стороне отметим по 2 дополнительные точки, которые поделят сторону на 3 равные части (то есть всего отмечено 13 точек). Сколько существует (невырожденных) треугольников с вершинами в отмеченных точках

Answer 1

Ответ:

264

Пошаговое объяснение:

Всего треугольников (считая вырожденные)

$C^{13}_3=286$

Вырожденные - это те, где все три вершины лежат на одной прямой. Эти прямые всего двух видов:

1) Проходящие через центр. Их всего 6, на каждой лежит ровно три точки, а значит и вырожденных треугольников 6.

2) Содержащие стороны квадрата. Их всего 4, на каждой 4 вершины, значит вырожденных треугольников

$4\cdot C^4_3=16$

И того, невырожденных треугольников 286-6-16=264.

Answer 2

Чтобы рассчитать количество невырожденных треугольников с вершинами в отмеченных точках внутри данного правильного четырёхугольника, давайте разберёмся сначала, сколько всего существует таких треугольников, а затем вычтем вырожденные случаи.

У нас есть 13 точек, и мы хотим выбрать 3 из них, чтобы образовать треугольник. Это можно сделать с использованием сочетаний. Количество способов выбрать 3 точки из 13 обозначим как C(13, 3), где C(n, k) - это биномиальный коэффициент, равный n! / (k! * (n - k)!), где "!" обозначает факториал.

C(13, 3) = 13! / (3! * (13 - 3)!) = 13! / (3! * 10!) = (13 * 12 * 11) / (3 * 2 * 1) = 286.

Итак, всего существует 286 треугольников, которые можно образовать, выбирая 3 из 13 отмеченных точек.

Теперь вычтем количество вырожденных случаев. Вырожденный случай возникает, когда все вершины треугольника лежат на одной прямой. Чтобы найти количество таких случаев, давайте рассмотрим стороны четырёхугольника и их возможные комбинации:

1. Три точки на одной из сторон четырёхугольника.
2. Одна точка на одной стороне четырёхугольника и две точки на другой стороне.
3. Все три точки на разных сторонах четырёхугольника.

Давайте подсчитаем количество вырожденных случаев для каждой из этих ситуаций:

1. Есть 4 стороны в четырёхугольнике, и на каждой стороне 2 точки. Значит, всего 4 * 2 = 8 вырожденных случаев.

2. Также есть 4 стороны, и для каждой из них мы можем выбрать 1 точку, а для другой стороны 2 точки. Значит, всего 4 * 2 * 4 = 32 вырожденных случая.

3. В этом случае выбирается 1 точка с каждой из 4 сторон. Значит, всего 4 * 4 * 4 = 64 вырожденных случая.

Итак, всего есть 8 + 32 + 64 = 104 вырожденных случая.

Теперь вычтем количество вырожденных случаев из общего числа треугольников:

286 - 104 = 182 невырожденных треугольника, которые можно образовать в данном правильном четырёхугольнике с отмеченными точками.