Question

Помогите, пожалуйста, исследовать функции y=x+1/x и y=x-1/x ...

Answer 1

y=x+1/x

1) D(y)=(- ∞;0)U(0;+∞)

2) функция нечетная

3) Точки пересечения с осями: нет

4) Вертикальная асимптота х=0

5) Наклонная асимптота у=х

6) Экстремумы: maxy=y(-1)=-2

miny=y(1)=2

7) выпукла вверх на (- ∞;0) и выпукла вниз на (0;+∞)

Всё что знаю удачи

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Конечно, давайте рассмотрим функции $y = x + \frac{1}{x}$ и $y = x - \frac{1}{x}$.

Функция $y = x + \frac{1}{x}$:

1. Область определения: Функция определена для всех значений $x$, кроме $x = 0$, так как в знаменателе не может быть нуля.

2. Асимптоты:

   • Горизонтальная асимптота: При $x$ стремящемся к бесконечности или к минус бесконечности, функция стремится к $y = x$.
   • Вертикальная асимптота: Нет вертикальной асимптоты, так как функция не определена при $x = 0$.

3. Поведение при $x \rightarrow \pm \infty$: При $x \rightarrow \pm \infty$, функция приближается к прямой $y = x$.

4. Экстремумы: Найдем экстремумы, взяв производную и приравняв её к нулю. $y' = 1 - \frac{1}{x^2} = 0$ Отсюда получаем, что $x = \pm 1$. Подставив это значение обратно в исходную функцию, получаем два экстремума: при $x = 1$ функция принимает значение $y = 2$, а при $x = -1$ функция принимает значение $y = -2$.

Функция $y = x - \frac{1}{x}$:

1. Область определения: Та же, что и у предыдущей функции: все значения $x$, кроме $x = 0$.

2. Асимптоты:

   • Горизонтальная асимптота: При $x$ стремящемся к бесконечности или к минус бесконечности, функция стремится к $y = x$.
   • Вертикальная асимптота: Также нет вертикальной асимптоты, так как функция не определена при $x = 0$.

3. Поведение при $x \rightarrow \pm \infty$: Также как и в предыдущем случае, при $x \rightarrow \pm \infty$, функция приближается к прямой $y = x$.

4. Экстремумы: Ищем экстремумы, взяв производную и приравняв её к нулю. $y' = 1 + \frac{1}{x^2} = 0$ Это уравнение не имеет действительных корней, следовательно, у этой функции нет экстремумов.

Обратите внимание, что графики этих функций будут симметричны относительно оси y, так как при замене $x$ на $-x$ функция не изменится. Также, графики будут пересекаться в точке (0, -1) и (0, 1), так как обе функции принимают значение -1 при $x = 0$.