Question

Вычислить неопределенный интеграл xsin5xdx

Answer 1

$\int \underbrace {x}_{u}\cdot \underbrace {sin5x\, dx}_{dv}=uv-\int v\, du=-\dfrac{1}{5}\, x\cdot cos5x+\dfrac{1}{5}\int cos5x\, dx=\\\\\\=\dfrac{x}{5}\cdot cos5x+\dfrac{1}{25}\cdot sin5x+C$

Answer 2

Чтобы вычислить неопределенный интеграл ∫xsin(5x) dx, мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям, который основан на формуле:

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

Для этого выберем u и dv:

$u = x$ (производная: du = dx) $dv = \sin(5x) \, dx$ (производная: v = -\frac{1}{5}\cos(5x) )

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

$\int x \sin(5x) \, dx = -\frac{1}{5}x\cos(5x) - \int -\frac{1}{5}\cos(5x) \, dx$

Вычислим последний интеграл:

$\int -\frac{1}{5}\cos(5x) \, dx = \frac{1}{25}\sin(5x) + C$

Теперь объединим все части:

$\int x \sin(5x) \, dx = -\frac{1}{5}x\cos(5x) + \frac{1}{25}\sin(5x) + C$

где C - произвольная постоянная интеграции.