Question

Решите квадратное неравенство: а) х2 - 3х - 10 ≤ 0; 6) 16х2 - 24х + 9 > 0; в) -х 2 + 2х - 5 > 0.

Answer 1

Ответ во вложении
Решение тоже там

Answer 2

Давайте решим каждое квадратное неравенство поочередно:

а) $x^2 - 3x - 10 \leq 0$

Сначала найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$. Формула дискриминанта для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ имеет вид $D = b^2 - 4ac$.

Для данного уравнения $a = 1$, $b = -3$, и $c = -10$. Таким образом,

$D = (-3)^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49.$

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два действительных корня. Корни можно найти с помощью формулы:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$

$x_{1,2} = \frac{3 \pm 7}{2}.$

Таким образом, корни равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 5$. Теперь определим знак уравнения между корнями и вне их:

• Когда $x < -2$, $x^2 - 3x - 10 > 0$.
• Когда $-2 < x < 5$, $x^2 - 3x - 10 \leq 0$.
• Когда $x > 5$, $x^2 - 3x - 10 > 0$.

Таким образом, решение данного неравенства: $-2 \leq x \leq 5$.

б) $16x^2 - 24x + 9 > 0$

Давайте попробуем найти корни уравнения $16x^2 - 24x + 9 = 0$. Для этого вычислим дискриминант:

$D = (-24)^2 - 4(16)(9) = 576 - 576 = 0.$

Дискриминант равен нулю, что означает, что у уравнения есть один корень. Корень можно найти по формуле:

$x = \frac{-b}{2a} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}.$

Так как у уравнения только один корень, оно не меняет знак между корнями. Выберем тестовую точку, например, $x = 0$, и подставим ее в уравнение:

$16(0)^2 - 24(0) + 9 = 9.$

Так как значение положительно, уравнение положительно для всех значений $x$.

Таким образом, решение данного неравенства: $x \in (-\infty, +\infty)$.

в) $-x^2 + 2x - 5 > 0$

Это неравенство можно преобразовать, умножив обе стороны на -1:

$x^2 - 2x + 5 < 0.$

Теперь попробуем найти корни уравнения $x^2 - 2x + 5 = 0$. Для этого вычислим дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16.$

Так как дискриминант отрицателен, у уравнения нет действительных корней. Значит, уравнение не меняет знак между корнями.

Так как у нас нет действительных корней, то неравенство $-x^2 + 2x - 5 > 0$ верно для всех значений $x$.

Таким образом, решение данного неравенства: $x \in (-\infty, +\infty)$.