Question

На полке стоят 11 книг, из них 6 – по математике. Наугад выбираются 4 книги. Какова вероятность того, что две из них окажутся по математике?

Answer 1

Всего выбираем 4 книги из 11, количество вариантов:

$C_{11}^{4}=\frac{11!}{7!\cdot4!} =\frac{8\cdot9\cdot10\cdot11}{2\cdot3\cdot4} =330$

При этом 2 из них должны быть по математике (то есть, надо выбрать 2 книги из 6 книг по математике), а ещё 2 книги должны быть по другим предметам (а таких книг всего 5, поэтому выбираем 2 книги из 5), количество вариантов:

$C_{6}^{2} \cdot C_{5}^{2}=\frac{6!}{4!\cdot2!}\cdot\frac{5!}{3!\cdot2!}=\frac{5\cdot6\cdot4\cdot5}{2\cdot2} =150$

Вероятность:

$p=\frac{150}{330} =\frac{5}{11}$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику и правило вероятности. Для того чтобы выбрать 4 книги из 11, есть C(11, 4) способов (где C(n, k) обозначает биномиальный коэффициент, равный числу способов выбрать k элементов из n элементов).

Теперь мы должны рассмотреть, как могут быть выбраны 2 книги по математике из 6 и 2 книги, которые не являются по математике из оставшихся 11 - 6 = 5 книг.

Способы выбора 2 книг по математике из 6 равны C(6, 2).

Способы выбора 2 книг, которые не являются по математике, из 5 равны C(5, 2).

Таким образом, общее количество благоприятных исходов (когда 2 из 4 выбранных книг - по математике) равно C(6, 2) * C(5, 2).

Теперь мы можем рассчитать вероятность:

Вероятность = (Количество благоприятных исходов) / (Общее количество исходов)

Вероятность = (C(6, 2) * C(5, 2)) / C(11, 4)

Вычислим это:

C(6, 2) = 15 C(5, 2) = 10 C(11, 4) = 330

Вероятность = (15 * 10) / 330 = 150 / 330 = 5/11

Итак, вероятность того, что две из выбранных 4 книг окажутся по математике, равна 5/11.