Question

Решите пожалуйста неравенство (6*9^(х+1)-810)/81^(х)-81 ≥ 0

Answer 1

утверждение верно для любого х поскольку показательная функция всегда положительная

х принадлежит R

Answer 2

Чтобы решить это неравенство, сначала упростим его. Начнем с замены основания 81 на 9^2:

(6 * 9^(x+1) - 810) / (9^(2x) - 81) ≥ 0

Теперь упростим числитель:

6 * 9^(x+1) - 810 = 6 * 9^x * 9 - 810 = 54 * 9^x - 810

А знаменатель:

9^(2x) - 81 = 9^x * 9^x - 9^2 = 9^x * 9^x - 81

Теперь у нас есть:

(54 * 9^x - 810) / (9^x * 9^x - 81) ≥ 0

Давайте заметим, что и числитель, и знаменатель делятся на 9:

(6 * 9^x - 90) / (9^x * 9^x - 9) ≥ 0

Теперь у нас есть:

(6 * 9^x - 90) / (9^x * 9^x - 9) ≥ 0

Теперь можно воспользоваться методом интервалов, чтобы найти интервалы, в которых неравенство выполняется.

1. Рассмотрим интервалы для числителя: a. 6 * 9^x - 90 ≥ 0 b. 6 * 9^x - 90 < 0

a. 6 * 9^x - 90 ≥ 0: 6 * 9^x ≥ 90 9^x ≥ 15

Теперь возьмем логарифм обеих сторон (по основанию 9):

x * log9(9) ≥ log9(15) x ≥ log9(15)

b. 6 * 9^x - 90 < 0: 6 * 9^x < 90 9^x < 15

Теперь возьмем логарифм обеих сторон (по основанию 9):

x * log9(9) < log9(15) x < log9(15)

Теперь рассмотрим интервалы для знаменателя:

9^x * 9^x - 9 ≥ 0 (9^x)^2 - 9 ≥ 0 (9^x)^2 ≥ 9

Теперь возьмем квадратный корень обеих сторон:

9^x ≥ 3

Теперь мы имеем интервалы для числителя и знаменателя:

Числитель: x ≥ log9(15) (потому что мы хотим, чтобы числитель был больше или равен нулю)

Знаменатель: x ≥ log9(3) (потому что мы хотим, чтобы знаменатель был больше или равен нулю)

Теперь объединим эти интервалы, учитывая, что и числитель, и знаменатель должны быть больше или равны нулю:

x ≥ log9(15) и x ≥ log9(3)

Объединяя эти условия, мы получаем:

x ≥ log9(15)

Итак, решением данного неравенства являются все значения x, которые больше или равны log9(15).