Question

Розв’язати задачі з поясненням кожного кроку. 2.Довести, що рівняння 9х² + 16у² =144 є рівнянням еліпса, визначити напівосі, координати вершин та фокусів, ексцентриситет.

Answer 1

Разделим обе части на 144=12², получим

(х²/(12/3)²)+(у²/(12/4)²)=1

х²/16+у²/9=1

здесь большая полуось равна а=4, малая полуось b=3.

фокусы эллипса F₁(-с;0); F₂(с;0), где с=√(а²-b²)=√(4²-3²)=√7

фокусы эллипса F₁(-√7;0); F₂(√7;0)

Эксцентриситет равен с/а=√7/4

Вершины эллипса (-4;0);(4;0);(0;-3);(0;3)

Answer 2

Щоб довести, що рівняння 9x² + 16y² = 144 є рівнянням еліпса і знайти його основні характеристики (напівосі, координати вершин і фокусів, ексцентриситет), нам потрібно пройти кілька кроків:

1. Перепишемо рівняння у стандартній формі еліпса: 9x² + 16y² = 144

   Розділимо обидві сторони на 144, щоб отримати одиницю справа: (9x² / 144) + (16y² / 144) = 1

   Зменшимо дроби: (x² / 16) + (y² / 9) = 1

2. Тепер ми бачимо, що рівняння має стандартну форму еліпса, де a² = 16 та b² = 9.

   a - напівдовжина вісі x. b - напівдовжина вісі y.

3. Щоб знайти координати вершин, нам потрібно знати центр еліпса. У стандартній формі центр знаходиться в початку координат (0, 0).

4. Щоб знайти фокуси, використовуємо формули для фокусів еліпса: c = √(a² - b²)

   де c - відстань від центра до фокусу.

   В нашому випадку: c = √(16 - 9) = √7

   Тепер ми знаємо відстань від центра до фокусу. Фокуси знаходяться вздовж вісі x, тому координати фокусів будуть (±√7, 0).

5. Ексцентриситет (e) обчислюється так: e = c / a

   В нашому випадку: e = √7 / 4

   Це значення ексцентриситету визначає ступінь відклонення еліпса від кола. Якщо e < 1, то еліпс стиснутий вздовж вісі x; якщо e > 1, то еліпс витягнутий вздовж вісі x.

Отже, рівняння 9x² + 16y² = 144 є рівнянням еліпса з наступними характеристиками:

• Напівосі: a = 4 і b = 3.
• Координати вершин: Вершини знаходяться на вісі x та y і відстані a та b від центра. Вершини по вісі x: (±4, 0) Вершини по вісі y: (0, ±3)
• Фокуси: Фокуси знаходяться вздовж вісі x на відстані √7 від центра. Фокуси: (±√7, 0)
• Ексцентриситет: e = √7 / 4.