Question

Розв’язати задачі з поясненням кожного кроку. 3. Дана гіпербола 24у² – 25х² = 600. Визначити довжини осей, координати фокусів, ексцентриситет. Записати рівняння асимптот.

Answer 1

Решение смотрите во вложении

Answer 2

Задача полягає у визначенні параметрів гіперболи та її характеристик на основі заданого рівняння. Давайте розглянемо кожен крок по черзі:

1. Запис рівняння гіперболи: Задано рівняння гіперболи: 24у² - 25х² = 600.

2. Переведення рівняння у канонічну форму: Для зручності аналізу гіперболи, ми хочемо перевести її рівняння у канонічну форму. Для гіперболи з центром у початку координат, канонічна форма має вигляд:

   (x² / a²) - (y² / b²) = 1

   Де a - половина довжини осі х, b - половина довжини осі у.

   Поділимо дане рівняння на 600:

   (x² / 25) - (y² / 24) = 1

   Таким чином, a² = 25 і b² = 24.

3. Знаходження довжини осей: Знаючи значення a² і b², ми можемо знайти довжини осей гіперболи:

   a = √25 = 5 b = √24 = 2√6

   Таким чином, довжина осі х дорівнює 2a = 10, а довжина осі у дорівнює 2b = 4√6.

4. Знаходження координат фокусів: Фокуси гіперболи знаходяться на відстані c від центру, де c - ексцентриситет. Ексцентриситет можна знайти за формулою:

   c² = a² + b²

   Замінюючи a і b, маємо:

   c² = 25 + 24 c² = 49 c = 7

   Отже, фокуси знаходяться на відстані 7 одиниць від центру гіперболи вздовж осі х. Фокуси матимуть координати (±c, 0), тобто (7, 0) і (-7, 0).

5. Знаходження ексцентриситета: Ексцентриситет гіперболи визначається за формулою:

   e = c / a

   Підставляючи значення c і a, отримуємо:

   e = 7 / 5 = 1.4

   Отже, ексцентриситет гіперболи дорівнює 1.4.

6. Знаходження рівняння асимптот: Рівняння асимптот гіперболи можна записати у вигляді:

   y = ± (b / a) * x

   Підставивши значення b і a, отримаємо:

   y = ± (2√6 / 5) * x

   Таким чином, рівняння асимптот гіперболи це y = (2√6 / 5) * x і y = -(2√6 / 5) * x.

Це завершує розв'язання задачі. Ми визначили довжини осей, координати фокусів, ексцентриситет та рівняння асимптот гіперболи.