Question

Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба кривой y = 2x/1−x^2.

Answer 1

Вот я вам дам ответ, только могут быть ошибки, вы будьте внимательнее!.

Если есть вопросы то пиши.

Answer 2

Чтобы исследовать функцию $y = \frac{2x}{1-x^2}$ на выпуклость и найти точки перегиба, нам потребуется выполнить следующие шаги:

1. Найдем первую и вторую производные функции $y = \frac{2x}{1-x^2}$.
2. Решим уравнение $f''(x) = 0$ для поиска точек перегиба.
3. Используем знаки второй производной вокруг найденных точек для определения выпуклости.

Шаг 1: Найдем первую и вторую производные функции $y = \frac{2x}{1-x^2}$.

Пусть $f(x) = \frac{2x}{1-x^2}$.

Первая производная $f'(x)$ с использованием правила дифференцирования частного и цепного правила:

$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right) = \frac{2(1-x^2) - 2x(-2x)}{(1-x^2)^2} = \frac{2 + 2x^2}{(1-x^2)^2}$

Вторая производная $f''(x)$:

$f''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{2 + 2x^2}{(1-x^2)^2}\right) = \frac{(1-x^2)^2 \cdot 4x - (2 + 2x^2) \cdot 2(1-x^2)(-2x)}{(1-x^2)^4}$

$= \frac{4x(1-x^2)^2 + 4x(1-x^2)^2}{(1-x^2)^4} = \frac{8x(1-x^2)^2}{(1-x^2)^4} = \frac{8x}{(1-x^2)^2}$

Шаг 2: Решим уравнение $f''(x) = 0$ для поиска точек перегиба.

$f''(x) = \frac{8x}{(1-x^2)^2} = 0$

Так как знаменатель не может быть равен нулю (иначе функция не определена), у нас нет критических точек.

Шаг 3: Определим выпуклость функции, используя вторую производную.

Если $f''(x) > 0$, то функция выпукла вверх. Если $f''(x) < 0$, то функция выпукла вниз.

$f''(x) = \frac{8x}{(1-x^2)^2}$

Рассмотрим интервалы, где $x < -1$, $-1 < x < 0$, $0 < x < 1$ и $x > 1$.

1. При $x < -1$: $f''(x) < 0$, значит, функция выпукла вниз.

2. При $-1 < x < 0$: 0 0