Question

Докажите, что функция f (х) =2х5+4х3+3х-7 на множестве R является возрастающей

Answer 1

Пошаговое объяснение:производная этой функции равна 10х⁴+12х²+3

Первые два слагаемых неотрицательны, а последнее положительно. сумма их есть число положительное для любого значения х, поэтому функция на множестве действительных чисел возрастает

Answer 2

Чтобы доказать, что функция $f(x) = 2x^5 + 4x^3 + 3x - 7$ является возрастающей на множестве $\mathbb{R}$ (всех действительных числах), мы должны показать, что её производная $f'(x)$ положительна на всей числовой оси $\mathbb{R}$. Если производная положительна, это означает, что функция имеет положительный наклон и, следовательно, возрастает.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^5 + 4x^3 + 3x - 7)$

Используем правила дифференцирования для каждого члена:

$f'(x) = 10x^4 + 12x^2 + 3$

Теперь нам нужно определить знак $f'(x)$ на всей числовой оси $\mathbb{R}$. Для этого можно заметить, что каждый член $f'(x)$ является положительным числом для всех реальных значений $x$:

1. $10x^4$ всегда неотрицательно для всех $x$ (квадрат неотрицательного числа).
2. $12x^2$ также всегда неотрицательно для всех $x$ (квадрат неотрицательного числа).
3. Постоянное слагаемое 3 всегда положительно.

Следовательно, $f'(x)$ всегда положительна на $\mathbb{R}$.

Поскольку производная $f'(x)$ положительна на всей числовой оси, это означает, что исходная функция $f(x)$ является возрастающей на $\mathbb{R}$.

Answer 3

Для доказательства, что функция f(x) = 2x^5 + 4x^3 + 3x - 7 возрастающая на множестве действительных чисел R, нам нужно показать, что производная этой функции всегда положительна на R. Если производная положительна, то это означает, что функция увеличивается при увеличении значения x.

Давайте найдем производную функции f(x):

f(x) = 2x^5 + 4x^3 + 3x - 7

f'(x) = d/dx (2x^5) + d/dx (4x^3) + d/dx (3x) - d/dx (7)

Чтобы найти производные каждого слагаемого, используем степенное правило и правило дифференцирования константы:

f'(x) = 10x^4 + 12x^2 + 3

Теперь давайте рассмотрим знак производной f'(x) на множестве R. Если f'(x) > 0 на всем множестве R, то функция f(x) будет возрастающей.

Для определения знака производной f'(x) мы можем использовать тест знаков. Давайте рассмотрим интервалы, на которые можно разбить множество R:

1. Когда x < 0: В этом случае все слагаемые в f'(x) положительны, поэтому f'(x) > 0 для x < 0.

2. Когда 0 < x: Также все слагаемые в f'(x) положительны, поэтому f'(x) > 0 для 0 < x.

Таким образом, на всех интервалах множества R (x < 0 и 0 < x) производная f'(x) всегда положительна. Следовательно, функция f(x) = 2x^5 + 4x^3 + 3x - 7 является возрастающей на множестве действительных чисел R.