Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=tgx, x= π/3, y=0

Answer 1

Ответ:

$y=tgx\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi}{3}\ \ ,\ \ y=0\\\\\\S=\int\limits^{\pi /3}_0\; tgx\, dx=-ln|cosx|\; \Big|_0^{\pi/3}=-\Big(ln(cos\frac{\pi}{3})-ln(cos0)\Big)=\\\\\\=-\Big(ln\dfrac{1}{2}-ln1\Big)=-ln\dfrac{1}{2}=-ln(2^{-1})=ln2$

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \tan(x)$, $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = 0$, нужно вычислить определенный интеграл функции $\tan(x)$ на интервале $[0, \frac{\pi}{3}]$ и затем взять абсолютное значение результата, так как функция $\tan(x)$ может принимать отрицательные значения в этом интервале.

Интеграл функции $\tan(x)$ на интервале $[0, \frac{\pi}{3}]$ можно записать следующим образом:

$S = \int_0^{\pi/3} \tan(x) \, dx$

Для вычисления этого интеграла, мы можем воспользоваться табличным значением интеграла от $\tan(x)$, который равен $-\ln|\cos(x)| + C$, где $C$ - постоянная интеграции.

Интегрируя $-\ln|\cos(x)|$ по $x$ от 0 до $\frac{\pi}{3}$, получаем:

$S = -\left[\ln|\cos(x)|\right]_0^{\pi/3}$

Теперь вычислим значения в пределах от 0 до $\pi/3$:

$S = -\left[\ln|\cos(\pi/3)| - \ln|\cos(0)|\right]$

Учитывая, что $\cos(\pi/3) = \frac{1}{2}$ и $\cos(0) = 1$, мы можем продолжить вычисления:

$S = -\left[\ln\left|\frac{1}{2}\right| - \ln(1)\right]$ $S = -\ln\left|\frac{1}{2}\right|$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \tan(x)$, $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = 0$, равна $\ln 2$.