Question

Доказать, что 1+7c1n+12c2n+6c3n=(n+1)3

Answer 1

Ответ:

Это не верное равенство

Пошаговое объяснение:

$1+7c1n+12c2n+6c3n=1+7cn+24cn+8cn=49cn+1\neq (n+1)3$

Answer 2

Давайте докажем это по индукции. Индукция - это метод математического доказательства, который используется для доказательства утверждения для всех натуральных чисел.

1. База индукции (n=0):

   Подставим n=0 в обе стороны уравнения:

   Левая сторона: $1 + 7C1 \cdot 0 + 12C2 \cdot 0 + 6C3 \cdot 0 = 1$.

   Правая сторона: $(0 + 1)^3 = 1$.

   При n=0 утверждение верно.

2. Шаг индукции:

   Предположим, что утверждение верно для некоторого k, т.е. пусть:

   $1 + 7C1k + 12C2k + 6C3k = (k + 1)^3.$

   Теперь рассмотрим случай $n = k + 1$.

   Левая сторона: $1 + 7C1(k+1) + 12C2(k+1) + 6C3(k+1)$

   Разложим биномы: $= 1 + 7C1k + 7C1 + 12C2k + 12C2 + 6C3k + 6C3.$

   Пользуясь предположением индукции, мы можем записать: $= (k+1)^3 + 7C1 + 12C2 + 6C3.$

   Но мы также знаем, что $(k+1)^3 = (k+1)^3$, поэтому: $= (k+1)^3 + 7C1 + 12C2 + 6C3.$

   Итак, утверждение верно для $n = k + 1$, если оно верно для $n = k$.

3. Заключение:

   Поскольку утверждение верно для $n=0$ и если оно верно для $n=k$, то оно верно и для $n=k+1$, мы можем заключить, что утверждение верно для всех натуральных чисел n по индукции.