Question

Решите неравенство 3*49^x-16*21^x+21*9^x <0

Answer 1

Ответ:

х>1

$x < log_{ \frac{7}{3} }(3)$

Пошаговое объяснение:

решение во вложении ( три фото)

Answer 2

$3\cdot49^x-16\cdot21^x+21\cdot9^x$

Обе части разделим на $(3^x)^2 > 0$. Получим:

$3\cdot\frac{(7^x)^2}{(3^x)^2} -16\cdot\frac{7^x}{3^x}+21$

Замена: $(\frac{7}{3})^x = t>0$

$3t^2-16t+21$

Т.к. стоял знак <, то

$\frac{7}{3} < t < 3$

$(\frac{7}{3})^1$

$1 < x < \log_{\frac{7}{3}}3.$

ОТВЕТ:  $(1; \log_{\frac{7}{3}}3)$

Answer 3

Чтобы решить данное неравенство, мы можем использовать метод замены переменной. Давайте введем новую переменную, например, $t = 3^x$, чтобы упростить неравенство. Тогда неравенство примет вид:

$3t^2 - 16t + 21 < 0$

Теперь мы можем решить это квадратное неравенство. Сначала найдем его корни, которые назовем $t_1$ и $t_2$, используя квадратное уравнение $3t^2 - 16t + 21 = 0$. Мы можем использовать квадратное уравнение для этого:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

В данном случае $a = 3$, $b = -16$, и $c = 21$. Подставим эти значения:

$t_1 = \frac{16 + \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 21}}{2 \cdot 3} = \frac{16 + \sqrt{256 - 252}}{6} = \frac{16 + \sqrt{4}}{6} = \frac{16 + 2}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$t_2 = \frac{16 - \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 21}}{2 \cdot 3} = \frac{16 - \sqrt{256 - 252}}{6} = \frac{16 - \sqrt{4}}{6} = \frac{16 - 2}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

Теперь мы имеем два корня $t_1 = 3$ и $t_2 = \frac{7}{3}$. Теперь мы можем анализировать знак выражения $3t^2 - 16t + 21$ на интервалах между корнями.

1. Для $t < \frac{7}{3}$: Поскольку оба корня положительные, выражение $3t^2 - 16t + 21$ будет положительным, так как при подстановке $t < \frac{7}{3}$ оба слагаемых $3t^2$ и $21$ положительны, а $16t$ будет меньше $16 \cdot \frac{7}{3} = \frac{112}{3}$, и, следовательно, отрицательным.

2. Для $\frac{7}{3} < t < 3$: В этом интервале $3t^2 - 16t + 21$ будет отрицательным, так как оба слагаемых $3t^2$ и $21$ положительны, а $16t$ будет больше $16 \cdot \frac{7}{3} = \frac{112}{3}$, и, следовательно, положительным.

3. Для $t > 3$: В этом интервале $3t^2 - 16t + 21$