Question

Помогите решить двойной интеграл по области d Двойной интеграл(x-y)dxdy (D) Y=2X Y=2X^2

Answer 1

Ответ:-0,1
Решение на фотографии

Answer 2

Для решения данного двойного интеграла сначала нам нужно найти область D, ограниченную кривыми Y = 2X и Y = 2X^2. Графики этих кривых пересекаются в точках (0,0) и (1,2).

Область D представляет собой фигуру, заключенную между этими двумя кривыми, и она ограничена отрезками по X от 0 до 1. Таким образом, она выглядит следующим образом:

D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 2x^2 ≤ y ≤ 2x}

Теперь мы можем вычислить данный интеграл:

∫∫_D (x - y) dxdy

Сначала вычислим интеграл по x, а затем по y.

Интеграл по x: ∫(x - y) dx от 0 до 1 = [(1 - y) - (0 - y)] dy от 0 до 1 = ∫(1 - y) dy от 0 до 1 = [y - (y^2 / 2)] от 0 до 1 = (1 - 1/2) - (0 - 0) = 1/2

Теперь мы имеем интеграл от 1/2 по y:

∫(1/2) dy от 0 до 2x = (1/2) * [y] от 2x^2 до 2x = (1/2) * (2x - 2x^2)

Теперь мы можем интегрировать это выражение от 0 до 1 по x:

∫(1/2) * (2x - 2x^2) dx от 0 до 1 = (1/2) * [(x^2 - 2/3 * x^3)] от 0 до 1 = (1/2) * [(1 - 2/3 * 1^3) - (0 - 0)] = (1/2) * [(1 - 2/3) - 0] = (1/2) * (1/3) = 1/6

Итак, значение данного двойного интеграла по области D равно 1/6.