Question

докажите формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии Sn=a1(1-q^n)/1-q , q не равняется 1 методом математической индукции

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

База: n=1 $S_1=\frac{a_1(1-q)}{1-q}=a_1$ - верно

Переход: пусть верно $S_n=\frac{a1(1-q^n)}{1-q}$, тогда $S_{n+1}=S_n+a_{n+1}=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} +a_1*q^{n}=a_1(\frac{1-q^n}{1-q}+q^{n})=\\=a_1(\frac{1-q^n}{1-q}+\frac{q^{n}(1-q)}{1-q})=a_1(\frac{1-q^n+q^n-q^{n+1}}{1-q})=a_1(\frac{1-q^{n+1}}{1-q})=\frac{a_1(1-q^{n+1})}{1-q}$

Answer 2

Давайте докажем формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n = a_1 \frac{{1 - q^n}}{{1 - q}}$ с использованием метода математической индукции.

Шаг 1: Доказательство для $n = 1$.

Когда $n = 1$, формула принимает вид: $S_1 = a_1$

Это верно, так как сумма первого члена геометрической прогрессии равна первому члену.

Шаг 2: Предположение индукции.

Предположим, что формула справедлива для $n = k$, т.е., $S_k = a_1 \frac{{1 - q^k}}{{1 - q}}$

Шаг 3: Доказательство для $n = k + 1$.

Нам нужно доказать, что формула справедлива для $n = k + 1$, т.е., $S_{k+1} = a_1 \frac{{1 - q^{k+1}}}{{1 - q}}$

Используем предположение индукции: $S_k = a_1 \frac{{1 - q^k}}{{1 - q}}$

Добавим $a_{k+1}$ (следующий член прогрессии) к обеим сторонам: $S_{k+1} = a_1 \frac{{1 - q^k}}{{1 - q}} + a_{k+1}$

Так как следующий член прогрессии равен $a_{k+1} = a_1 q^k$, мы можем переписать $S_{k+1}$ следующим образом: $S_{k+1} = a_1 \frac{{1 - q^k}}{{1 - q}} + a_1 q^k$

Теперь, упрощаем это уравнение: $S_{k+1} = a_1 \frac{{1 - q^k + q^k - q^{k+1}}}{{1 - q}}$

$S_{k+1} = a_1 \frac{{1 - q^{k+1}}}{{1 - q}}$

Таким образом, мы видим, что формула справедлива для $n = k + 1$, и это завершает доказательство по методу математической индукции.