Question

Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку м(5;-4) і перпендикулярна до прямої Зх- у + 16 = 0. Помогите пожалуйста)

Answer 1

$A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$ — уравнение прямой, проходящей через точку с координатами $(x_0;y_0)$ перпендикулярно прямой Ax + By + C = 0

Здесь $\vec n=\{A;B\}$ — вектор нормали, т.е. $\vec n=\{3;-1\}$.

$3(x-5)-(y+4)=0\\ 3x-15-y-4=0\\ 3x-y-19=0$

Answer 2

Для знаходження рівняння прямої, яка проходить через точку M(5, -4) і є перпендикулярною до прямої Зх - у + 16 = 0, спершу знайдемо напрямок перпендикулярної прямої.

Рівняння прямої Зх - у + 16 = 0 вже знаходиться у вигляді загального вигляду Ax + By + C = 0, де A = 1, B = -1, і C = 16.

Щоб знайти напрямок прямої, замінимо x і y на змінні (x₁, y₁), що відповідають точці M(5, -4):

A₁ = 1 B₁ = -1

Тепер ми можемо знайти напрямок перпендикулярної прямої, використовуючи властивість перпендикулярних прямих: якщо дві прямі перпендикулярні, то добуток їхніх коефіцієнтів наклона дорівнює -1.

Отже, маємо:

A₁ * A₂ + B₁ * B₂ = -1

1 * A₂ + (-1) * B₂ = -1

A₂ - B₂ = -1

Тепер нам потрібно знайти значення A₂ і B₂. Маючи на увазі, що A₂ і B₂ - це коефіцієнти наклона нової прямої, можемо виразити A₂ і B₂ з рівняння A₂ - B₂ = -1:

A₂ = -1 + B₂

Тепер ми можемо виразити B₂:

B₂ = A₂ + 1

Тепер, знаючи коефіцієнт B₂, ми можемо записати рівняння прямої, яка проходить через точку M(5, -4) і є перпендикулярною до заданої прямої:

Рівняння нової прямої:

A₂x + B₂y + C₂ = 0

Підставимо значення B₂ = A₂ + 1 у це рівняння і підставимо координати точки M(5, -4):

A₂x + (A₂ + 1)y + C₂ = 0

Тепер ми можемо знайти A₂, використовуючи вираз B₂ = -1 + B₂:

A₂x + (A₂ + 1)y + C₂ = 0 A₂x + (-1 + A₂)y + C₂ = 0

Тепер підставимо координати точки M(5, -4) у це рівняння:

A₂(5) + (-1 + A₂)(-4) + C₂ = 0

5A₂ + 4(A₂ - 1) + C₂ = 0

5A₂ + 4A₂ - 4 + C₂ = 0

9A₂ - 4 + C₂ = 0

Тепер ми можемо виразити C₂:

C₂ = 4 - 9A₂

Тепер у нас є рівняння нової прямої у вигляді:

A₂x + (A₂ + 1)y + (4 - 9A₂) = 0

Знаючи значення A₂, ми можемо записати кінцеве рівняння прямої. Якщо ви знайдете значення A₂, ви зможете записати повністю рівняння нової прямої, яка проходить через точку M(5, -4) і є перпендикулярною до заданої прямої Зх - у + 16 = 0.