Question

Помогите решить двойной интеграл ∫ ∫ (x^2 -5y) dx dy D D: x=2; y=x/2; y=x

Answer 1

$D:\ x=2\ ,\ y=x\ ,\ y=\dfrac{x}{2}\\\\\\\iint\limits_{D}\, (x^2-5y)\, dx\, dy=\int\limits^2_0dx \int\limits^{x}_{\frac{x}{2}}\, (x^2-5y)\, dy=\int\limits^2_0\, dx \Big(x^2y-\dfrac{5y^2}{2}\Big)\Big|_{\frac{x}{2}}^{x}=\\\\\\=\int\limits^2_0\Big(x^3-\dfrac{5x^2}{2}-\dfrac{x^3}{2}+\dfrac{5x^2}{8}\Big)\, dx=\int\limits^2_0\, \Big(\dfrac{x^3}{2}-\dfrac{15x^2}{8}\Big)\, dx=\Big(\dfrac{x^4}{8}-\dfrac{15x^3}{8\cdot 3}\Big)\Big|_0^2=\\\\\\=\dfrac{2^4}{8}-\dfrac{5\cdot 2^3}{8}=2-5=-3$

Answer 2

Для решения данного двойного интеграла сначала определим область интегрирования D в координатах x и y.

У нас есть следующие ограничения:

1. x ограничено сверху x = 2.
2. x ограничено снизу двумя функциями: y = x/2 и y = x.

Таким образом, D - это область внутри треугольника с вершинами (0, 0), (2, 1) и (2, 2).

Теперь мы можем записать интеграл:

∫∫_(D) (x^2 - 5y) dx dy

Интеграл по D можно разбить на два интеграла:

1. Интеграл по x: сначала интегрируем по x от x/2 до x, а затем по y от 0 до 1.
2. Интеграл по y: интегрируем по y от 0 до 1, а затем по x от x/2 до 2.

Сначала интеграл по x:

∫_(x/2)^(x) (x^2 - 5y) dx

Вычислим этот интеграл:

∫_(x/2)^(x) (x^2 - 5y) dx = [x^3/3 - 5xy]_(x/2)^(x)

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования и выразим интеграл по y:

[x^3/3 - 5x^2/2 - (x^3/24 - 5x^2/4)] = (x^3/3 - 5x^2/2 - x^3/24 + 5x^2/4)

Теперь интегрируем по y от 0 до 1:

∫_(0)^(1) [(x^3/3 - 5x^2/2 - x^3/24 + 5x^2/4) dy]

Вычислим этот интеграл:

(x^3/3 - 5x^2/2 - x^3/24 + 5x^2/4)y |_(0)^(1) = (x^3/3 - 5x^2/2 - x^3/24 + 5x^2/4)

Теперь интегрируем это выражение по x от x/2 до 2:

∫_(x/2)^(2) (x^3/3 - 5x^2/2 - x^3/24 + 5x^2/4) dx

Вычислим этот интеграл:

∫_(x/2)^(2) (x^3/3 - 5x^2/2 - x^3/24 + 5x^2/4) dx = [x^4/12 - 5x^3/6 - x^4/96 + 5x^3/8]_(x/2)^(2)

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

[(2^4/12 - 52^3/6 - 2^4/96 + 52^3/8) - ((x/2)^4/12 - 5*(x/2)^3/6 - (x/2)^4/96 + 5*(x/2)^3/8)]

Теперь можно вычислить значение этой двойной интегралы:

(16/12 - 40/6 - 16/96 + 40/8) - ((x^4/48 - 5x^3/24 - x^4/384 + 5x^3/32) - (x^4/48 - 5x^3/24 - x^4/384 + 5x^3/32))

Упростим:

(4/3 - 20/3 - 1/6 + 5/2) - (x^4/48 - 5x^3/24 - x^4/384 + 5x^3/32 - x^4/48 + 5x^3/24 + x^4/384 - 5x^3/32)

Теперь вычислим каждую часть:

(4/3 - 20/3 - 1/6 + 5/2) = (-16/3)

И

(x^4/48 - 5x^3/24 - x^4/384 + 5x^3/32 - x^4/48 + 5x^3/24 + x^4/384 - 5x^3/32) = (0)

Итак, значение данного двойного интеграла равно -16/3.