Question

Решите задачу векторным методом. Выполните рисунок. Дан треугольник АВC. Известно, что AB = 2 см, BC=5v3 см, угол ABC = 30° . Найдите длину медианы ВМ.​

Answer 1

BM=12·BA+12·BC

(cм. рис)

|BM|2=BM·BM

BM·BM=(12·BA+12·BC)·(12·BA+12·BC)=

раскрываем скобки как в алгебре ( векторная алгебра)

=14·BA·BA+14·BA·BС+14·BС·BА+14·BС·BС=

=14·|BA|2+24|BA|·|BС|·cos ∠(BA,BС) +14·|BС|2=

=14·42+12·4·6√3cos 30^{o} +14·(6√3)2=4+18+27=49

|BM|2=49

|BM|=7

Answer 2

Для решения этой задачи векторным методом, давайте обозначим векторы сторон треугольника и воспользуемся свойствами векторов. Пусть $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$, и $\overrightarrow{CA}$ - векторы сторон треугольника ABC.

1. $\overrightarrow{AB} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix}$ (так как длина AB равна 2 см и направлена вдоль оси x).

2. $\overrightarrow{BC} = \begin{bmatrix} -\frac{5\sqrt{3}}{2} \\ \frac{5}{2} \end{bmatrix}$ (используем угол ABC = 30°).

3. $\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = -\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -\frac{5\sqrt{3}}{2} \\ \frac{5}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{5\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{5}{2} \end{bmatrix}$.

Теперь найдем координаты точки М, которая является серединой стороны AC:

$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{2}\left(\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{5\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{5}{2} \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} \frac{5\sqrt{3} + 2}{4} \\ -\frac{5}{4} \end{bmatrix}$.

Теперь найдем длину вектора $\overrightarrow{AM}$, которая и будет длиной медианы BM:

$|\overrightarrow{AM}| = \sqrt{\left(\frac{5\sqrt{3} + 2}{4}\right)^2 + \left(-\frac{5}{4}\right)^2}$.

Раскроем скобки и вычислим:

$|\overrightarrow{AM}| = \sqrt{\frac{75}{16} + \frac{25}{16}} = \sqrt{\frac{100}{16}} = \frac{10}{4} = 2.5 \, \text{см}.$