Question

Исследовать сходимость ряда с общим членом

Answer 1

Ответ:

Расходится

Пошаговое объяснение:

Ряд с комплексными членами сходится тогда, и только тогда, когда сходятся оба ряда, составленных из действительных и комплексных частей его элементов

Исследуем ряд $\sum \Im \omega_n=\sum \dfrac{1}{n}$ - гармонический ряд расходится. Необходимое условие сходимости ряда с комплекснозначными членами не выполнено.

А значит и исходный ряд расходится

Answer 2

Для исследования сходимости ряда с общим членом необходимо провести анализ данного ряда и определить, сходится ли он или расходится. Существует несколько методов и критериев для определения сходимости ряда. Один из самых широко используемых методов - это критерий Д'Аламбера и критерий Коши.

1. Критерий Д'Аламбера: Критерий Д'Аламбера позволяет определить сходимость ряда с положительными членами. Рассмотрим ряд с общим членом a_n. Если существует предел: lim (n -> ∞) |a_(n+1) / a_n| = L, то:

• Если L < 1, то ряд сходится абсолютно.
• Если L > 1, то ряд расходится.
• Если L = 1, то критерий не дает однозначного ответа.

2. Критерий Коши: Критерий Коши также используется для определения сходимости ряда с положительными членами. Рассмотрим ряд с общим членом a_n. Если существует предел: lim (n -> ∞) (a_n)^(1/n) = L, то:

• Если L < 1, то ряд сходится абсолютно.
• Если L > 1, то ряд расходится.
• Если L = 1, то критерий не дает однозначного ответа.

Помимо этих критериев, также существуют ряд других методов и признаков для исследования сходимости рядов, такие как признак сравнения, интегральный признак и др.

Для проведения конкретного исследования сходимости ряда необходимо знать явный вид общего члена a_n и использовать соответствующий метод или признак для определения сходимости или расходимости ряда.