Question

Найдите частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка постаянными коэффициентами: a) у" + у' - 6у = 0, если у = 0, у' = 10 при x= 0; b) y" - 3у = 0. если у = 1, у' = -1 при х = 0.

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

a) Для нахождения частного решения данного линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами у" + у' - 6у = 0, мы можем использовать метод подстановки частного решения вида у(x) = e^(rx). Подставляя это в уравнение, получаем:

r^2e^(rx) + re^(rx) - 6e^(rx) = 0

Теперь давайте разделим уравнение на e^(rx), чтобы упростить его:

r^2 + r - 6 = 0

Теперь это квадратное уравнение для r. Давайте найдем его корни:

(r - 2)(r + 3) = 0

Из этого уравнения видно, что r может быть равным 2 или -3. Теперь мы можем записать общее решение уравнения в виде:

у(x) = C1 * e^(2x) + C2 * e^(-3x)

Теперь у нас есть общее решение. Чтобы найти частное решение, мы можем использовать начальные условия. У нас есть два начальных условия: у(0) = 0 и у'(0) = 10.

Подставим x = 0 в общее решение:

у(0) = C1 * e^0 + C2 * e^0 = C1 + C2

Теперь подставим у'(0) = 10:

у'(0) = 2C1 * e^0 - 3C2 * e^0 = 2C1 - 3C2

Теперь у нас есть система уравнений:

C1 + C2 = 0 2C1 - 3C2 = 10

Мы можем решить эту систему уравнений. Сначала из первого уравнения получим C1 = -C2 и подставим это во второе уравнение:

2(-C2) - 3C2 = 10

-2C2 - 3C2 = 10

-5C2 = 10

C2 = -2

Теперь мы знаем значение C2, и мы можем найти C1 из первого уравнения:

C1 = -C2 = 2

Итак, частное решение этого дифференциального уравнения с начальными условиями у(0) = 0 и у'(0) = 10:

у(x) = 2e^(2x) - 2e^(-3x)

b) Для уравнения y" - 3y = 0 с начальными условиями у(0) = 1 и у'(0) = -1, мы можем использовать тот же метод.

Подставляя у(x) = e^(rx) в уравнение, получаем:

r^2e^(rx) - 3e^(rx) = 0

Далее разделим на e^(rx):

r^2 - 3 = 0

Решим это уравнение для r:

r^2 = 3

r = ±√3

Теперь общее решение уравнения:

у(x) = C1 * e^(√3x) + C2 * e^(-√3x)

Теперь подставим начальные условия:

у(0) = C1 * e^0 + C2 * e^0 = C1 + C2 = 1

у'(0) = √3 * C1 * e^0 - √3 * C2 * e^0 = √3 * (C1 - C2) = -1

Из первого уравнения мы можем выразить C2:

C2 = 1 - C1

Подставим это во второе уравнение:

√3 * (C1 - (1 - C1)) = -1

√3 * (2C1 - 1) = -1

2C1 - 1 = -1 / √3

2C1 = 1 / √3

C1 = 1 / (2√3)

Теперь найдем C2:

C2 = 1 - C1 = 1 - 1 / (2√3) = (2√3 - 1) / (2√3)

Итак, частное решение этого дифференциального уравнения с начальными условиями у(0) = 1 и у'(0) = -1:

у(x) = (1 / (2√3)) * e^(√3x) + ((2√3 - 1) / (2√3)) * e^(-√3x)