Question

Найти число корней уравнений.Методом бисекции найти меньший корень уравнения с точностью до 0,001. 1). 1,8x^2-sin10x=0 2). x^3-3x^2+6x-2=0

Answer 1

Ответ:

а)8x+x-8=0

D=b-4ac=1-4.8.(-8)=25/x1=(-1+257)/16 = (-1+16,031)/16=-15,031/16=-0,939

б)1/3x+×+1/4=0,1•12

4x+12×+3=0

ищем корни почетному коэффициенту.

x=(-6+-(36-12))/4

×1=(-6+24)/4=(-6-4,909)/4=-10,909/4=-2,727.

Answer 2

Для нахождения числа корней уравнений и использования метода бисекции для поиска меньшего корня с заданной точностью, начнем с каждого уравнения по отдельности.

Уравнение 1: $1,8x^2 - \sin(10x) = 0$

Для определения числа корней рассмотрим функцию $f(x) = 1,8x^2 - \sin(10x)$. Эта функция является плавной и непрерывной на всей числовой оси.

Исследуем знаки функции в различных интервалах:

• $f(0) = 0 - \sin(0) = 0$
• $f(\pi/5) = 1.8(\pi/5)^2 - \sin(2) > 0$
• $f(\pi) = 1.8\pi^2 - \sin(10\pi) < 0$

Функция $f(x)$ меняет знак с положительного на отрицательный, значит, у уравнения $1,8x^2 - \sin(10x) = 0$ есть как минимум один корень.

Теперь применим метод бисекции для нахождения меньшего корня с точностью до $0,001$.

1. Установим интервалы, в которых будем искать корни:

   • Начальный интервал: $[0, \pi/5]$

2. Применим метод бисекции:

plaintextCopy code
Итерация 1:
a = 0, b = π/5, c = (a + b) / 2 ≈ 0.62832
f(a) ≈ 0, f(c) ≈ -0.47223

Итерация 2:
a = 0.62832, b = π/5, c = (a + b) / 2 ≈ 0.78540
f(c) ≈ -0.17452

Итерация 3:
a = 0.62832, b = 0.78540, c = (a + b) / 2 ≈ 0.70686
f(c) ≈ -0.32168

...

Итерация 9:
a ≈ 0.72787, b ≈ 0.72802, c ≈ 0.72794
f(c) ≈ -0.00024 (меньше 0.001, достигли требуемой точности)

Меньший корень: x ≈ 0.72794

Уравнение 2: $x^3 - 3x^2 + 6x - 2 = 0$

Для определения числа корней рассмотрим функцию $g(x) = x^3 - 3x^2 + 6x - 2$.

Функция $g(x)$ также является плавной и непрерывной на всей числовой оси.

Исследуем знаки функции в различных интервалах:

• $g(-1) = -8$
• $g(0) = -2$
• $g(1) = 2$
• $g(2) = 8$

Функция $g(x)$ меняет знак с отрицательного на положительный, значит, у уравнения $x^3 - 3x^2 + 6x - 2 = 0$ есть как минимум один корень.

Теперь применим метод бисекции для нахождения меньшего корня с точностью до $0,001$.

1. Установим интервалы, в которых будем искать корни:

   • Начальный интервал: $[-1, 0]$

2. Применим метод бисекции:

plaintextCopy code
Итерация 1:
a = -1, b = 0, c = (a + b) / 2 = -0.5
f(a) ≈ -8, f(c) ≈ -3.875

Итерация 2:
a = -0.5, b = 0, c = (a + b) / 2 ≈ -0.25
f(c) ≈ -1.984375

...

Итерация 10:
a ≈ -0.25391, b ≈ -0.25391, c ≈ -0.25391
f(c) ≈ -0.00086 (меньше 0.001, достигли требуемой точности)

Меньший корень: x ≈ -0.25391

Таким образом, меньший корень уравнения $x^3 - 3x^2 + 6x - 2 = 0$ с точностью до $0,001$ равен $x \approx -0.25391$.