Question

Исследовать функцию на экстриумы: y=4-2x+7x^2

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:1) Область определения функции. Точки разрыва функции.

2) Четность или нечетность функции.

y(-x)=

Функция общего вида

3) Периодичность функции.

4) Точки пересечения кривой с осями координат.

Пересечение с осью 0Y

x=0, y=

Пересечение с осью 0X

y=0

4-2·x-7·x2=0

Нет пересечений.

5) Исследование на экстремум.

y = 4-2*x-7*x^2

1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.

f'(x) = -14·x-2

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

-14·x-2 = 0

Откуда:

x1 = -1/7

В окрестности точки x = -1/7 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -1/7 - точка максимума.

2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.

f''(x) = -14

Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.

-14 = 0

Для данного уравнения корней нет.

6) Асимптоты кривой.

y = 4-2·x-7·x2

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:

Answer 2

Для исследования функции на экстремумы (минимумы и максимумы), нам нужно найти производные функции и определить их нули. Экстремумы происходят в точках, где производная равна нулю или не существует. Давайте начнем с нахождения производных функции:

Данная функция: y = 4 - 2x + 7x^2

1. Найдем первую производную (производную функции по x): y' = d/dx (4 - 2x + 7x^2)

y' = -2 + 14x

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю: -2 + 14x = 0

14x = 2

x = 2/14

x = 1/7

Теперь, чтобы определить, является ли эта точка минимумом или максимумом, мы можем воспользоваться второй производной тестом. Найдем вторую производную:

2. Найдем вторую производную (производную первой производной по x): y'' = d/dx (-2 + 14x)

y'' = 14

Вторая производная равна постоянной (14), и она положительна для любых значений x. Это означает, что точка x = 1/7 является минимумом.

Теперь найдем значение y в этой точке:

y = 4 - 2x + 7x^2 y(1/7) = 4 - 2(1/7) + 7(1/7)^2 y(1/7) = 4 - 2/7 + 7/49 y(1/7) = 196/49 - 14/49 + 7/49 y(1/7) = (196 - 14 + 7) / 49 y(1/7) = 189/49

Итак, минимум функции находится в точке x = 1/7, y = 189/49.

Это значение является минимумом функции y = 4 - 2x + 7x^2.