Question

По кругу написаны натуральные числа, причём каждое равно сумме или разности своих соседей. Докажите, что количество чисел на круге делится на 3. Решение пожалуйста.

Answer 1

Ответ:

при добавление либо какого числа ты добавишь еще 3 и в конечном результате ты всегда будешь получать число кратное числу 3

Answer 2

Давайте докажем, что количество чисел на круге, удовлетворяющих данному условию, действительно делится на 3.

Предположим, что на круге есть n чисел, удовлетворяющих данному условию. Теперь давайте рассмотрим следующее: поскольку каждое число на круге равно сумме или разности своих соседей, то мы можем сгруппировать числа в тройки таким образом, чтобы в каждой тройке соседние числа давали сумму, а в следующей тройке - разность. Например, если у нас есть числа A, B, C, D, E, F на круге, и A = B + C, D = E + F, то мы можем сгруппировать их следующим образом:

1. Группа 1: (A, B, C)
2. Группа 2: (D, E, F)

Теперь давайте рассмотрим, какие отношения между этими группами могут быть. Мы видим, что:

1. Если сумма двух соседних чисел равна следующему числу (например, A + B = C), то это означает, что в группе 1 у нас есть 2 числа, которые равны сумме своих соседей.
2. Если разность двух соседних чисел равна следующему числу (например, D - E = F), то это означает, что в группе 2 у нас есть 2 числа, которые равны разности своих соседей.

Теперь давайте посчитаем, сколько у нас может быть групп 1 и групп 2. Поскольку в каждой группе 3 числа, то общее количество чисел на круге n должно быть равно 3k, где k - количество групп. То есть n = 3k.

Теперь давайте посмотрим, сколько чисел в каждой группе:

1. В группе 1 у нас может быть либо 0 чисел, либо 2 числа (поскольку в каждой группе 3 числа, и одно из них должно быть равно сумме двух остальных).
2. В группе 2 у нас может быть либо 1 число (если в группе есть два числа, равные разности своих соседей), либо 3 числа (если в группе только числа, равные разности своих соседей).

Таким образом, общее количество чисел n на круге равно 3k, где k - это количество групп 1 и групп 2. Из вышеприведенных рассуждений видно, что k должно быть целым числом. Таким образом, количество чисел на круге, удовлетворяющих данному условию, действительно делится на 3.