Question

По кругу написаны натуральные числа, причем каждое равно сумме или разности своих соседей. Докажите, что количество чисел на круге делится на 3.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Предположим,  что среди всех чисел расположенных по кругу нет нечётных, т.е. все числа чётные. Пусть минимальная степень двойки входящая в разложении этих чисел на простые множители равна x.

Разделим все числа одновременно на 2^x. Полученные при этом числа так же должны удовлетворять начальным условиям, так как b=a±c⇔b/(2^x)=(a±c)/2(2^x)

Получим одно или несколько нечётных чисел. Пусть число а₂ одно из них, а₁ и а₃ соседние числа. Тогда а₁ и а₃-числа разной чётности

Пусть а₁ -нечётное, а₃-чётное.(Док-во при расположения по кругу как по часовой, так и против часовой аналогичны )

а₂-нечётное, а₃-чётное⇒а₄-нечётное

а₃-чётное, а₄-нечётное⇒а₅-нечётное

а₄-нечётное, а₅-нечётное⇒а₆-чётное

И.т.д

Получили ряд чисел {нечётное,нечётное, чётное, нечётное,нечётное, чётное, нечётное,нечётное, чётное, ..., нечётное,нечётное, чётное}

Как видно количество нечётных превышает кол-во чётных ровно в два раза. Т.е. их общее количество равно утроенному количеству чётных чисел и кратно трём.

Ч.т.д.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу. Пусть у нас есть круг, на котором написаны натуральные числа так, что каждое число равно сумме или разности своих соседей. Давайте предположим, что количество чисел на этом круге не делится на 3.

Обозначим количество чисел на круге как N. Теперь мы знаем, что N не делится на 3, поэтому мы можем записать N в виде N = 3k + r, где k - некоторое целое число, а r - остаток при делении N на 3, причем r может быть 1 или 2.

Рассмотрим сумму всех чисел на круге. Поскольку каждое число равно сумме или разности своих соседей, сумма всех чисел на круге также будет равна сумме всех соседей для каждого числа. Теперь, если мы пройдем по всем числам на круге, у нас будет N сумм соседей.

Однако каждая сумма соседей включает два числа: число и его соседа слева. Это означает, что каждое число участвует в двух суммах соседей. Следовательно, общее количество чисел, которые участвуют в суммах соседей, будет равно 2N.

Теперь давайте посмотрим на сумму всех чисел на круге. Поскольку каждое число участвует в двух суммах соседей, сумма всех чисел будет равна сумме всех сумм соседей, то есть:

Сумма всех чисел = 2N сумм соседей

Теперь вернемся к предположению о том, что N = 3k + r. Подставим это значение в уравнение:

Сумма всех чисел = 2(3k + r) сумм соседей Сумма всех чисел = 6k + 2r сумм соседей

Теперь заметим, что сумма всех чисел на круге является натуральным числом, так как все числа на круге натуральные. Однако 6k + 2r является четным числом, так как 6k - четное, и любое четное число плюс четное или нечетное число также будет четным.

Это противоречие, так как нельзя получить четное число, суммируя только натуральные числа. Следовательно, наше предположение о том, что количество чисел на круге не делится на 3, неверно. Это означает, что количество чисел на круге должно делиться на 3.