Question

Однородные уравненияy"+2y'+y'=0

Answer 1

Ответ:

$y'' + 2y' + y = 0$

Замена:

$y = {e}^{kx} \\ {e}^{kx} ( {k}^{2} + 2k + 1) = 0 \\ {(k + 1)}^{2} \\ k1 = k2 = - 1 \\ y = C1 {e}^{ - x} + C2 {e}^{ - x} x$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами называется однородным линейным уравнением второго порядка. Давайте попробуем найти его общее решение.

Уравнение имеет следующий вид: y'' + 2y' + y = 0

Для нахождения решения предположим, что y имеет вид: y(t) = e^(rt)

где r - некоторая константа, которую мы должны найти. Подставим это предположение в уравнение:

y'' + 2y' + y = 0 (r^2e^(rt)) + 2(re^(rt)) + e^(rt) = 0

Теперь давайте объединим все члены, содержащие e^(rt):

(r^2 + 2r + 1)e^(rt) = 0

Это уравнение должно быть равно нулю для всех значений t, кроме того, как r - константа, которую мы ищем. Множитель e^(rt) не может быть равен нулю, так что у нас остается только множитель в скобках:

r^2 + 2r + 1 = 0

Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

D = (2^2) - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0

D = 0, что означает, что у нас есть один корень уравнения:

r = -2/2 = -1

Теперь, когда мы знаем значение r, мы можем найти общее решение уравнения. Общее решение будет иметь вид:

y(t) = c1e^(-t) + c2te^(-t)

где c1 и c2 - произвольные постоянные. Это общее решение однородного уравнения второго порядка y'' + 2y' + y = 0.