Question

Решить уравнения 1) cosx-cos2x=0 2) sin5x-sinx=0

Answer 1

Ответ:

$1) \cos(x) - \cos(2x) = 0 \\ - 2 \sin( \frac{3x}{2} ) \sin( - \frac{x}{2} ) = 0 \\ \sin( \frac{3x}{2} ) \sin( \frac{x}{2} ) = 0 \\ \sin( \frac{x}{2} ) = 0 \\ x = \frac{2k\pi}{3} \\ 2) \sin(5x) - \sin(x) = 0 \\ 2 \cos(3x) \sin(2x) = 0 \\ \cos(3x) \sin(2x) = 0 \\ \\ \cos(3x) = 0 \\ \sin(2x) = 0 \\ \\x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \\ \frac{k\pi}{2}$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

1. cos(x) - cos(2x) = 0

Сначала используем формулу разности для косинусов:

cos(2x) = cos(x)cos(x) - sin(x)sin(x)

Теперь подставим это обратно в уравнение:

cos(x) - (cos(x)cos(x) - sin(x)sin(x)) = 0

Упростим уравнение:

cos(x) - cos(x)cos(x) + sin(x)sin(x) = 0

Теперь сгруппируем похожие члены:

cos(x) (1 - cos(x)) + sin(x)sin(x) = 0

Теперь можно заметить, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Используем это:

(1 - cos(x))cos(x) + sin^2(x) = 0

Раскроем скобки:

cos(x) - cos^2(x) + sin^2(x) = 0

Используем тождество cos^2(x) + sin^2(x) = 1:

cos(x) - 1 + 1 = 0

cos(x) = 1

Теперь найдем все решения в интервале [0, 2π). Косинус равен 1 только при x = 0 в этом интервале.

2. sin(5x) - sin(x) = 0

Используем формулу синуса разности:

sin(5x) - sin(x) = 2sin((5x - x)/2)cos((5x + x)/2)

Упростим выражение:

sin(4x) = 2sin(2x)cos(3x)

Теперь разделим обе стороны на sin(2x) (предполагая, что sin(2x) не равен нулю):

sin(4x)/sin(2x) = 2cos(3x)

Используем тождество sin(2a) = 2sin(a)cos(a):

2sin(2x)cos(2x)/sin(2x) = 2cos(3x)

Сократим sin(2x) на обеих сторонах:

2cos(2x) = 2cos(3x)

Теперь делим обе стороны на 2:

cos(2x) = cos(3x)

Теперь найдем все решения в интервале [0, 2π). Для этого можно использовать тригонометрические свойства. Посмотрим на значения cos(2x) и cos(3x) в этом интервале:

cos(2x) принимает значения 1, 0, -1, 0, 1.

cos(3x) принимает значения 1, -0.5, -1, -0.5, 1.

Теперь сравниваем значения и находим значения x, при которых cos(2x) = cos(3x):

1. cos(2x) = 1, cos(3x) = 1: Нет решений.
2. cos(2x) = 0, cos(3x) = -0.5: Нет решений.
3. cos(2x) = -1, cos(3x) = -1: Нет решений.
4. cos(2x) = 0, cos(3x) = -1: Нет решений.
5. cos(2x) = 1, cos(3x) = 1: Нет решений.

Таким образом, в данном интервале у нас нет решений этого уравнения.

Итак, решениями первого уравнения является x = 0, а решений второго уравнения в интервале [0, 2π) нет.