Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=f(x) на отрезке [a,b]. f(x)=x^3-3x+1 [1/2, 2]

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

сначала находим критические точки (точки экстремумов)

это через первую производную

f'(x) = 3x²-3 = 3(х²-1)

3(х²-1)=0 ⇒ х₁ = 1;  х₂ =  -1

х₂ = -1 не входит в заданный отрезок. ее не рассматриваем

у нас есть одна точка экстремума и две точки - концы отрезка.

смотрим значение функции в этих точках

f(1/2) = -0.375

f(1) = -1

f(2) = 3

таким оразом

максимум функции f(x)=x³-3x+1 на отрезке [1/2, 2]

достигается на правом конце отрезка и равен f(2) = 3

минимум функции f(x)=x³-3x+1 на отрезке [1/2, 2]

достигается в точке локального минимума х₀=  1 и равен f(1) = -1

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции $y = f(x) = x^3 - 3x + 1$ на отрезке $[a, b] = \left[\frac{1}{2}, 2\right]$, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдите критические точки функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$, то есть точки, где производная $f'(x)$ равна нулю или не существует.

2. Вычислите значения функции $f(x)$ в этих критических точках, а также на концах отрезка $[a, b]$.

3. Найдите наименьшее и наибольшее значение среди этих точек.

Давайте начнем с шага 1, найдем критические точки:

$f(x) = x^3 - 3x + 1$

$f'(x) = 3x^2 - 3$

Теперь найдем, когда производная равна нулю:

$3x^2 - 3 = 0$

$3(x^2 - 1) = 0$

$x^2 - 1 = 0$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

Таким образом, критические точки на отрезке $[1/2, 2]$ - это $x = 1/2$, $x = 1$, и $x = 2$.

Теперь перейдем ко второму шагу, чтобы найти значения функции $f(x)$ в этих точках и на концах отрезка:

$f(1/2) = (1/2)^3 - 3(1/2) + 1 = 1/8 - 3/2 + 1 = -5/8$

$f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$

$f(2) = 2^3 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3$

Теперь мы имеем значения функции $f(x)$ в следующих точках: -5/8, -1, и 3.

И, наконец, наименьшее и наибольшее значения:

Наименьшее значение: -5/8 (в точке $x = 1/2$)

Наибольшее значение: 3 (в точке $x = 2$)

Итак, наименьшее значение функции $y = f(x)$ на отрезке $[1/2, 2]$ равно -5/8, а наибольшее значение равно 3.