Question

Как доказать что НОК действительно наименьшее а НОД наибольшее ?

Answer 1

В этой статье всесторонне рассмотрено наименьшее общее кратное (НОК) данных чисел. Сначала дано определение общих кратных, на основании которого дано определение наименьшего общего кратного. После этого введены обозначения НОК, и приведены примеры. Дальше рассмотрена теорема, устанавливающая связь НОК и НОД данных чисел. В заключение показано, как нахождение наименьшего общего кратного трех и большего количества чисел сводится к последовательному вычислению НОК двух чисел.

Answer 2

Для доказательства того, что НОК (наименьшее общее кратное) действительно наименьшее, а НОД (наибольший общий делитель) наибольшее, можно воспользоваться следующими свойствами:

1. НОК:

   • НОК двух чисел всегда больше или равен каждому из этих чисел. То есть, если a и b - два числа, то НОК(a, b) >= a и НОК(a, b) >= b.
   • НОК также является общим кратным для a и b, что означает, что любой другой общий кратный для a и b также должен быть больше или равен НОК(a, b). Это следует из определения НОК как наименьшего общего кратного.

2. НОД:

   • НОД двух чисел всегда меньше или равен каждому из этих чисел. То есть, если a и b - два числа, то НОД(a, b) <= a и НОД(a, b) <= b.
   • НОД также является общим делителем для a и b, и любой другой общий делитель для a и b должен быть меньше или равен НОД(a, b). Это следует из определения НОД как наибольшего общего делителя.

На основе этих свойств можно заключить, что НОК является наименьшим общим кратным для двух чисел и не существует общих кратных, меньших НОК. А НОД является наибольшим общим делителем для двух чисел и не существует общих делителей, больших НОД. Это и доказывает, что НОК действительно наименьшее, а НОД наибольшее.

Таким образом, эти свойства определяют важные характеристики НОК и НОД и подтверждают их место в теории чисел.