Question

Найдите экстремумы функции f(x) =x^3(x-2)​

Answer 1

Ответ:

1)x^3(x-2)​=х^4-2·x³. Тогда первая производная будет 4·х³-6х² ⇒2х²(2х-3)

2) Видно, что первая производная равна 0 при х=0 и при х=1,5

3) при х=0 функция равна 0 и в этом месте имеет точку перегиба, т.к знак производной при переходе через х=0 не меняет знак, который остаётся отрицательным(значения функции убывают)

4) при х=1,5 функция равна минимуму 1,6875, т.к производная меняет знак с - на +

УДАЧИ!

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы найти экстремумы функции $f(x) = x^3(x - 2)$, сначала найдем ее производную и приравняем ее к нулю, чтобы найти точки, в которых производная равна нулю. Затем мы проверим значения второй производной, чтобы определить, являются ли эти точки минимумами, максимумами или седловыми точками.

1. Найдем производную $f(x)$: $f'(x) = 3x^2(x - 2) + x^3 \cdot 1 = 3x^2(x - 2) + x^3$

2. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: $3x^2(x - 2) + x^3 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$: $x^2(3(x - 2) + x) = 0$

Упростим уравнение: $x^2(3x - 6 + x) = 0$ $x^2(4x - 6) = 0$

3. Решим полученное уравнение: $x^2 = 0$ или $4x - 6 = 0$

Для первого уравнения получаем одно решение: $x = 0$

Для второго уравнения: $4x - 6 = 0$ $4x = 6$ $x = \frac{6}{4}$ $x = \frac{3}{2}$

Таким образом, у нас есть две точки, где производная $f'(x)$ равна нулю: $x = 0$ и $x = \frac{3}{2}$.

4. Теперь найдем значения второй производной $f''(x)$ и проверим их в этих точках:

$f''(x) = \frac{d}{dx}[3x^2(x - 2) + x^3] = 6x(x - 2) + 3x^2$

Для $x = 0$: $f''(0) = 6 \cdot 0(0 - 2) + 3 \cdot 0^2 = 0$

Для $x = \frac{3}{2}$: $f''\left(\frac{3}{2}\right) = 6 \cdot \frac{3}{2}\left(\frac{3}{2} - 2\right) + 3 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 0$

Оба значения второй производной равны нулю.

5. Итак, у нас есть две точки, в которых $f'(x) = 0$, и в обеих точках вторая производная $f''(x)$ также равна нулю. Это означает, что у нас есть точки инфлексии, но нет локальных минимумов или максимумов. Таким образом, функция $f(x) = x^3(x - 2)$ не имеет экстремумов.