Question

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка y''=x^2+2​

Answer 1

Ответ:

$y'' = {x}^{2} + 2 \\ y' = \int\limits( {x}^{2} + 2)dx = \frac{ {x}^{3} }{3} + 2x + C_1 \\ y = \int\limits( \frac{ {x}^{3} }{3} + 2x + C_1)dx = \\ = \frac{ {x}^{4} }{12} + \frac{2 {x}^{2} }{2} + C_1x + C_2 = \\ = \frac{ {x}^{4} }{12} + {x}^{2} + C_1x + C_2$

общее решение

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения второго порядка y'' = x^2 + 2, мы сначала должны его интегрировать дважды. Давайте начнем с первой интеграции:

y' = ∫(x^2 + 2) dx = (x^3/3) + 2x + C₁,

где C₁ - это произвольная постоянная.

Теперь проинтегрируем y' еще раз:

y = ∫((x^3/3) + 2x + C₁) dx = (x^4/12) + x^2 + C₁x + C₂,

где C₂ - это еще одна произвольная постоянная.

Итак, общее решение дифференциального уравнения y'' = x^2 + 2 выглядит следующим образом:

y(x) = (x^4/12) + x^2 + C₁x + C₂,

где C₁ и C₂ - произвольные постоянные.