Question

Исследуйте на экстремимум с помощью 2-ой производной функции f(x)=1/3x^3-3x^2+5x+5

Answer 1

.....................

Answer 2

Для того чтобы исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной, нам необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдите первую производную функции f(x).
2. Найдите вторую производную функции f(x).
3. Найдите критические точки, где первая производная равна нулю или не существует.
4. Оцените тип каждой критической точки (максимум, минимум или седловая точка) с помощью второй производной.

Начнем с первого шага. Найдем первую производную функции f(x):

f(x) = (1/3)x^3 - 3x^2 + 5x + 5

f'(x) = d/dx [(1/3)x^3 - 3x^2 + 5x + 5]

f'(x) = (1/3) * 3x^2 - 2 * 3x + 5

f'(x) = x^2 - 6x + 5

Теперь найдем вторую производную:

f''(x) = d/dx [x^2 - 6x + 5]

f''(x) = 2x - 6

Теперь найдем критические точки, где первая производная равна нулю:

x^2 - 6x + 5 = 0

Для нахождения корней этого квадратного уравнения, мы можем использовать квадратное уравнение:

(x - 5)(x - 1) = 0

Отсюда получаем две критические точки:

1. x = 5
2. x = 1

Теперь определим тип каждой критической точки с помощью второй производной:

1. Подставим x = 5 во вторую производную: f''(5) = 2 * 5 - 6 = 10 - 6 = 4 Так как f''(5) > 0, это означает, что у нас есть локальный минимум в точке x = 5.

2. Подставим x = 1 во вторую производную: f''(1) = 2 * 1 - 6 = 2 - 6 = -4 Так как f''(1) < 0, это означает, что у нас есть локальный максимум в точке x = 1.

Итак, мы нашли две критические точки:

1. Локальный минимум в точке x = 5.
2. Локальный максимум в точке x = 1.

Это означает, что функция f(x) имеет локальный минимум в x = 5 и локальный максимум в x = 1.