Question

Решить дифференциальное уравнение: а) y ′ tgx − y =1;б) y ′′ − 2у ′ − 8у = 12sin 2x − 36cos 2x

Answer 1

a)

$y'\cdot tg \, x-y=1 \\ \\ y' \cdot tg \, x =1+y \\ \\ \frac{y'}{1+y}=\frac{1}{tg \, x} \\ \\ \frac{y'}{1+y}=ctg \, x \\ \\ \frac{dy}{dx} \cdot \frac{1}{1+y}=ctg \, x \\ \\ \int {\frac{dy}{1+y}}=\int {ctg \, x} \, dx \\ \\ \ln{|1+y|}=\int {\frac{\cos{x}}{\sin{x}}} \, dx \\ \\ \ln{|1+y|}=\int {\frac{d(\sin{x})}{\sin{x}}} \\ \\ \ln{|1+y|}=\ln{|\sin{x}|}+\ln{C} \\ \\ 1+y=C\sin{x} \\ \\ y=C\sin{x}-1$

б)

$y''-2y'-8y=12\sin{2x}-36\cos{2x} \\ \\ y''-2y'-8y=0 \\ \\ \lambda^2-2\lambda-8=0 \\ \\ \lambda_{1,2}=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-8)}}{2\cdot 1}=\frac{2\pm\sqrt{4+32}}{2}=\frac{2\pm6}{2}\\ \\ \lambda_1=\frac{2+6}{2}=4; \ \ \ \ \lambda_2=\frac{2-6}{2}=-2$

$Y=C_1e^{4x}+C_2e^{-2x}$

$\widetilde{y}=A\sin{2x}+B\cos{2x} \\ \\ \widetilde{y}'=(A\sin{2x}+B\cos{2x} )'=2A\cos{2x}-2B\sin{2x} \\ \\ \widetilde{y}''=(2A\cos{2x}-2B\sin{2x})'=-4A\sin{2x}-4B\cos{2x} \\ \\ -4A\sin{2x}-4B\cos{2x}-2\cdot (2A\cos{2x}-2B\sin{2x}) -8 \cdot (A\sin{2x}+B\cos{2x})=\\ \\ =-4A\sin{2x}-4B\cos{2x}-4A\cos{2x}+4B\sin{2x}-8A\sin{2x}-8B\cos{2x}= \\ \\ = -12A\sin{2x}+4B\sin{2x}-12B\cos{2x}-4A\cos{2x}=\\\\ =(-12A+4B)\sin{2x}+(-12B-4A)\cos{2x}=12\sin{2x}-36\cos{2x}$

$\left \{ {{-12A+4B=12 \ \ \ \cdot |3} \atop {-4A-12B =-36}} \right. \left \{ {{-36A+12B=36} \ \ \ _+ \atop {-4A-12B=-36}} \right. \\ \\ -40A=0; \\ A=0 \\ \\ -4\cdot0 -12B=-36 \\ -12B=36 \\ B=3$

$\widetilde{y}=3\cos{2x}$

$y=Y+\widetilde{y}=C_1e^{4x}+C_2e^{-2x}+3\cos{2x}$

Answer 2

а) Дифференциальное уравнение y' * tan(x) - y = 1 имеет вид уравнения с разделяющимися переменными. Для его решения следует выполнить следующие шаги:

1. Перепишем уравнение: y' * tan(x) = y + 1

2. Разделим обе стороны уравнения на (y + 1): y' * tan(x) / (y + 1) = 1

3. Теперь интегрируем обе стороны уравнения по переменной y и x: ∫(1 / (y + 1)) dy = ∫tan(x) dx

4. Вычислим интегралы: ln|y + 1| = -ln|cos(x)| + C1, где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

5. Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон уравнения: |y + 1| = 1 / |cos(x)| * e^(C1)

6. Рассмотрим два случая для абсолютных значений: a) y + 1 = 1 / |cos(x)| * e^(C1) b) y + 1 = -1 / |cos(x)| * e^(C1)

7. Решим каждый случай отдельно: a) y = 1 / |cos(x)| * e^(C1) - 1 b) y = -1 / |cos(x)| * e^(C1) - 1

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения это сумма обоих частных решений: y(x) = 1 / |cos(x)| * e^(C1) - 1 - 1 / |cos(x)| * e^(C1) - 1

y(x) = -2 / |cos(x)| * e^(C1) - 2

где C1 - произвольная константа.

б) Дифференциальное уравнение y'' - 2y' - 8y = 12sin(2x) - 36cos(2x) - это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Чтобы его решить, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдем решение однородного уравнения: y'' - 2y' - 8y = 0. Характеристическое уравнение для однородного уравнения: r^2 - 2r - 8 = 0

   Решим характеристическое уравнение: (r - 4)(r + 2) = 0 r1 = 4, r2 = -2

   Общее решение однородного уравнения: y_h(x) = C1 * e^(4x) + C2 * e^(-2x), где C1 и C2 - произвольные константы.

2. Найдем частное решение неоднородного уравнения.

   Предположим, что частное решение имеет вид y_p(x) = A * sin(2x) + B * cos(2x), где A и B - неизвестные константы.

3. Найдем первую и вторую производные частного решения: y_p'(x) = 2A * cos(2x) - 2B * sin(2x) y_p''(x) = -4A * sin(2x) - 4B * cos(2x)

4. Подставим частное решение и его производные в неоднородное уравнение: (-4A * sin(2x) - 4B * cos(2x)) - 2(2A * cos(2x) - 2B * sin(2x)) - 8(A * sin(2x) + B * cos(2x)) = 12sin(2x) - 36cos(2x)

5. Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые: (-4A + 4B - 8A) * sin(2x) + (-4B - 4A - 8B) * cos(2x) = 12sin(2x) - 36cos(2x)

6. Сравним коэффициенты при синусе и косинусе: -12A + 4B = 12 (для синуса) -12B - 12A = -36 (для косинуса)

7. Решим систему уравнений: -12A + 4B = 12 -12B - 12A = -36

   Первое уравнение можно упростить: -3A + B = 3

   Теперь выразим B: B = 3 + 3A

8. Подставим B обратно в первое уравнение: -12A + 4(3 + 3A) = 12

9. Решим это уравнение: -12A + 12 + 12A = 12 12 = 12

Уравнение верно для любых A и B, поэтому A и B могут принимать любые значения.

Частное решение: y_p(x) = A * sin(2x) + B * cos(2x)

Общее решение неоднородного уравнения: y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C1 * e^(4x) + C2 * e^(-2x) + A * sin(2x) + B * cos(2x)

где C1, C2, A и B - произвольные константы.