Question

y''-9y=10sint y(0)=1 y'(0)=2 методом операційного числення, знайти розв'язок ЛНДР, який задовольняє початковим умовам.

Answer 1

Ответ:

хз

Пошаговое объяснение:

берем ложку и размешивакм суп, а потом едим.

Answer 2

Для знаходження розв'язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння (ЛНДР) методом операційного числення спершу знайдемо загальний розв'язок відповідного однорідного рівняння:

$y'' - 9y = 0.$

Характеристичне рівняння цього однорідного рівняння має вигляд:

$r^2 - 9 = 0.$

Розв'язавши його, отримаємо два корені: $r_1 = 3$ і $r_2 = -3$. Загальний розв'язок однорідного рівняння виглядає так:

$y_h(t) = c_1 e^{3t} + c_2 e^{-3t},$

де $c_1$ і $c_2$ - це довільні константи.

Тепер перейдемо до неоднорідного рівняння:

$y'' - 9y = 10\sin(t).$

Для знаходження частинного розв'язку неоднорідного рівняння використовуємо метод варіації сталих. Припустимо, що частинний розв'язок має вигляд:

$y_p(t) = A\sin(t) + B\cos(t).$

Тепер знайдемо похідні від $y_p(t)$ та підставимо їх в неоднорідне рівняння:

$y_p''(t) = -A\sin(t) - B\cos(t),$

$y_p''(t) - 9y_p(t) = -A\sin(t) - B\cos(t) - 9(A\sin(t) + B\cos(t)) = (-8A - 9B)\sin(t) + (-8B + 9A)\cos(t).$

Підставимо це у неоднорідне рівняння:

$$(-8A - 9B)\sin(t) + (-8B + 9A)\cos(t) = 10\sin(t).$$

Рівняння має виконуватися для будь-якого $t$, тому коефіцієнти при синусі та косинусі мають дорівнювати:

$$-8A - 9B = 10, -8B + 9A = 0.$$

Розв'язавши цю систему рівнянь, отримаємо $A = \frac{90}{17}$ і $B = -\frac{80}{17}$.

Таким чином, частинний розв'язок має вигляд:

$y_p(t) = \frac{90}{17}\sin(t) - \frac{80}{17}\cos(t).$

Тепер можемо знайти загальний розв'язок неоднорідного рівняння, який задовольняє початковим умовам $y(0) = 1$ і $y'(0) = 2$:

$y(t) = y_h(t) + y_p(t) = c_1 e^{3t} + c_2 e^{-3t} + \frac{90}{17}\sin(t) - \frac{80}{17}\cos(t).$

Зараз можна використовувати початкові умови для знаходження значень констант $c_1$ і $c_2$:

$y(0) = c_1 + c_2 + \frac{90}{17} \cdot 0 - \frac{80}{17} \cdot 1 = 1,$

$y'(0) = 3c_1 - 3c_2 + \frac{90}{17} \cdot 1 + \frac{80}{17} \cdot 0 = 2.$