Question

Варіант 9 1. Запишіть загальний розв'язок рiвняння 4y" -3y' – y = 0 2. Знайдіть частинний розв'язок диференціального рівняні 7y" -5y' - 2y = 3x -11, що задовольняє початковим умовам у(0) =10

Answer 1

1. Для знаходження загального розв'язку рівняння 4y" - 3y' - y = 0, спочатку знаходимо характеристичне рівняння:

r^2 - (3/4)r - 1/4 = 0

Можна помножити рівняння на 4, щоб уникнути дробових коефіцієнтів:

4r^2 - 3r - 1 = 0

Застосуємо квадратне рівняння, щоб знайти значення r:

r = (3 ± √(3^2 - 4 * 4 * (-1))) / (2 * 4)

= (3 ± √(9 + 16)) / 8

= (3 ± √25) / 8

= (3 ± 5) / 8

Таким чином, маємо два корені: r1 = 1 і r2 = -1/4.

Отже, загальний розв'язок має вигляд:

y(x) = C1 * e^x + C2 * e^(-1/4 * x),

де C1 і C2 - це довільні константи.

2. Для знаходження частинного розв'язку диференціального рівняння 7y" - 5y' - 2y = 3x - 11, що задовольняє початковим умовам у(0) = 10, використаємо метод варіації довільних констант.

Спочатку знаходимо загальний розв'язок спряженого однорідного рівняння 7y" - 5y' - 2y = 0, що має вигляд:

y_h(x) = C1 * e^(r1 * x) + C2 * e^(r2 * x),

де r1 і r2 - корені характеристичного рівняння.

Отримали розв'язок:

y_h(x) = C1 * e^(x) + C2 * e^(-1/4 * x).

Тепер шукаємо частинний розв'язок вигляду:

y_p(x) = A * x + B,

де A і B - невідомі коефіцієнти.

Підставляємо y_p(x) в початкове диференціальне рівняння:

7y" - 5y' - 2y = 3x - 11.

Після підстановки отримуємо:

7(A) - 5(0) - 2(A * x + B) = 3x - 11.

Розподілимо та спростимо його:

(7A - 2Ax) - 2B = 3x - 11.

(7A - 2Ax) + (-2B) = 3x - 11.

Розглянемо окремо коефіцієнти при однакових ступенях x:

7A - 2Ax = 0, та -2B = -11.

З першого рівняння маємо:

A(7 - 2x) = 0.

Якщо A = 0, то рівняння не має сенсу. Тому ми вибираємо A = 0.

З другого рівняння отримуємо:

-2B = -11,

B = 11/2.

Таким чином, ми знайшли частинний розв'язок:

y_p(x) = A * x + B = 0 * x + 11/2 = 11/2.

Загальний розв'язок диференціального рівняння 7y" - 5y' - 2y = 3x - 11, який задовольняє початковим умовам y(0) = 10, буде сумою загального розв'язку однорідного рівняння та частинного розв'язку:

y(x) = y_h(x) + y_p(x)

= C1 * e^(x) + C2 * e^(-1/4 * x) + 11/2.

Для визначення значень C1 і C2 можна використати початкові умови y(0) = 10.

Answer 2

Задача 1: Маємо диференціальне рівняння: $4y'' - 3y' - y = 0$.

Спочатку знаходимо характеристичне рівняння, припускаючи $y = e^{rx}$:

$4r^2 - 3r - 1 = 0$.

Це квадратне рівняння, яке можна розв'язати за допомогою квадратного кореня:

$r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$,

де $a = 4$, $b = -3$ і $c = -1$.

Після підстановки отримуємо два корені:

$r_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{8}$ і $r_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{8}$.

Отже, загальний розв'язок рівняння виглядає так:

$y(x) = C_1 e^{\frac{3 + \sqrt{13}}{8}x} + C_2 e^{\frac{3 - \sqrt{13}}{8}x}$,

де $C_1$ і $C_2$ - довільні константи.

Задача 2: Маємо диференціальне рівняння: $7y'' - 5y' - 2y = 3x - 11$ та $у(0) = 10$.

Загальний розв'язок однорідного рівняння $7y'' - 5y' - 2y = 0$ ми знайшли в попередньому пункті:

$y_h(x) = C_1 e^{\frac{3 + \sqrt{13}}{8}x} + C_2 e^{\frac{3 - \sqrt{13}}{8}x}$.

Шукаємо частинний розв'язок неоднорідного рівняння у вигляді лінійної функції:

$y_p(x) = ax + b$.

Підставляємо $y_p$ у неоднорідне рівняння та знаходимо $a$ і $b$:

$7y'' - 5y' - 2y = 3x - 11$:

$7(0) - 5(1) - 2(ax + b) = 3x - 11$,

$-2ax - 5b = 3x - 6$.

Порівнюємо коефіцієнти при однакових ступенях $x$:

$-2a = 3 \Rightarrow a = -\frac{3}{2}$,

$-5b = -6 \Rightarrow b = \frac{6}{5}$.

Таким чином, частинний розв'язок:

$y_p(x) = -\frac{3}{2}x + \frac{6}{5}$