Question

Помогите пожалуйста сделать дифференциальное уравнение: xy'=y(1+ln(y/x)) , y(1)=1/sqrt(e).

Answer 1

Ответ:

$xy '= y(1 + ln( \frac{y}{x} ) )$

это однородное ДУ

$| \div x \\ y '= \frac{y}{x} (1 + ln( \frac{y}{x} ) )$

Замена:

$\frac{y}{x} = u \\ y' = u'x + u \\ \\ u'x + u = u(1 + ln(u)) \\ u'x = u(1 + ln(u)) - u \\ \frac{du}{dx} x = u(1 + ln(u) - 1) \\ \int\limits \frac{du}{u ln(u) } = \int\limits \frac{dx}{x} \\ \int\limits \frac{d( ln(u)) }{ ln(u) } = ln(x) + ln(C) \\ ln( ln(u) ) = ln(Cx) \\ ln(u) = Cx \\ ln( \frac{y}{x} ) = Cx \\ \frac{y}{x} = {e}^{Cx} \\ y = xe {}^{Cx}$

общее решение

$y(1) = \frac{1}{ \sqrt{e} }$

$ln( \frac{1}{ \sqrt{e} } ) = C\times 1 \\ C = - \frac{1}{2}$

$y = x {e}^{ - \frac{x}{2} }$

частное решение

Answer 2

Конечно, давайте решим это дифференциальное уравнение. У нас есть уравнение:

xy' = y(1 + ln(y/x))

Давайте разделим обе стороны на xy:

y' = (1 + ln(y/x))

Теперь мы имеем дифференциальное уравнение первого порядка. Чтобы решить его, мы можем воспользоваться методом разделения переменных. Давайте разделим переменные, переместив все, что содержит y, на одну сторону, а все, что содержит x, на другую:

(1 + ln(y/x)) dy = dx

Теперь давайте проинтегрируем обе стороны:

∫(1 + ln(y/x)) dy = ∫dx

Интегрируем левую сторону:

∫(1 + ln(y/x)) dy = ∫dx

∫dy + ∫ln(y/x) dy = ∫dx

y + ∫ln(y/x) dy = x + C

Теперь мы получили интегральное уравнение:

y + ∫ln(y/x) dy = x + C

Чтобы решить это уравнение, нам нужно вычислить интеграл ∫ln(y/x) dy. Давайте это сделаем:

∫ln(y/x) dy

Для интегрирования по частям, представим ln(y/x) как u и dy как dv:

u = ln(y/x) => du = (1/x)dy dv = dy => v = y

Теперь используем формулу интегрирования по частям:

∫ln(y/x) dy = uv - ∫v du

= yln(y/x) - ∫y(1/x) dy

= yln(y/x) - ∫(y/x) dy

= yln(y/x) - (1/x)∫y dy

= yln(y/x) - (1/x)(y^2/2) + C1

Теперь мы можем вернуться к нашему интегральному уравнению:

y + [yln(y/x) - (1/x)(y^2/2) + C1] = x + C

yln(y/x) - (1/x)(y^2/2) + C1 = x - y + C

Теперь мы получили уравнение в неявной форме. Мы не можем решить его аналитически в явной форме для y(x), но мы можем использовать начальное условие y(1) = 1/sqrt(e) для определения константы C1.

y(1) = 1/sqrt(e)

Подставим это в уравнение:

(1/sqrt(e))ln(1) - (1/1)((1/sqrt(e))^2/2) + C1 = 1 - (1/sqrt(e)) + C

C1 - (1/2e) + C = 1 - (1/sqrt(e)) + C

Теперь выразим C1:

C1 = 1 - (1/sqrt(e)) + C + (1/2e)

Теперь мы знаем значение C1. Вернемся к нашему уравнению:

yln(y/x) - (1/x)(y^2/2) + C1 = x - y + C

yln(y/x) - (1/x)(y^2/2) + 1 - (1/sqrt(e)) + C + (1/2e) = x - y + C

Теперь мы имеем дифференциальное уравнение с заданным начальным условием. Вы можете решить его численно или аппроксимировать решение, используя методы численной математики.