Question

Найти производную функции 1)f(x)= (x⁵+5) (x³-2x+2) 2)f(x)=cosx/2-x³

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

здесь будет использоваться несколько формул

$\displaystyle (uv)'= u'v+uv'\\(f(g(x))' = f(g(x))'*g(x)'\\(x^n)' = n*x^{n-1}$

итак, поехали

$\displaystyle f(x)= (x^5+5) (x^3-2x+2)$

$\displaystyle f'(x)=\bigg ( (x^5+5) (x^3-2x+2)\bigg )'=$

$\displaystyle =(x^5+5)'*(x^3-2x+2)+(x^5+5)*(x^3-2x+2)' =$

$\displaystyle = 5x^4(x^3-2x+2)+(x^5+5)(3x^2-2)$

дальше можно привести подобные

$\displaystyle f(x)=cos \bigg (\frac{x}{2} \bigg )-x^3$

$\displaystyle f'(x)= \bigg (cos \bigg (\frac{x}{2} \bigg ) \bigg )'- (x^3)'=\bigg (cos \bigg (\frac{x}{2} \bigg ) \bigg )'*\bigg (\frac{x}{2} \bigg )'-3x^2=$

$\displaystyle =-sin \bigg (\frac{x}{2} \bigg )*\frac{1}{2} -3x^2$

Answer 2

Для нахождения производной данных функций используем правило производной произведения для первой функции и правило производной разности для второй функции.

1. f(x) = (x^5 + 5)(x^3 - 2x + 2)

Для нахождения производной произведения функций применяем правило:

(fg)' = f'g + fg'

Где f' - производная первой функции, а g' - производная второй функции.

f(x) = x^5 + 5 g(x) = x^3 - 2x + 2

Теперь найдем производные каждой из функций:

f'(x) = 5x^4 g'(x) = 3x^2 - 2

Теперь подставим эти значения в правило производной произведения:

f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = (5x^4)(x^3 - 2x + 2) + (x^5 + 5)(3x^2 - 2)

Теперь упростим выражение, раскрыв скобки и выполним умножения:

5x^7 - 10x^5 + 10x^4 + 15x^2 - 10x^5 + 20x^3 - 20x^2 + 10x + 15x^7 - 10x^5

Теперь сложим все одночлены и упростим:

(5x^7 + 15x^7) + (-10x^5 - 10x^5 - 10x^5) + (10x^4 + 20x^3) + (15x^2 - 20x^2) + 10x

20x^7 - 30x^5 + 30x^3 - 5x^2 + 10x

Итак, производная функции f(x) равна:

f'(x) = 20x^7 - 30x^5 + 30x^3 - 5x^2 + 10x

2. f(x) = cos(x/2) - x^3

Для нахождения производной разности функций применяем правило:

(f - g)' = f' - g'

Где f' - производная первой функции, а g' - производная второй функции.

f(x) = cos(x/2) g(x) = x^3

Теперь найдем производные каждой из функций:

f'(x) = (-1/2)sin(x/2) # Производная косинуса (цепное правило) g'(x) = 3x^2 # Производная x^3

Теперь выразим производную исходной функции:

f'(x) - g'(x) = (-1/2)sin(x/2) - 3x^2

Итак, производная функции f(x) равна:

f'(x) = (-1/2)sin(x/2) - 3x^2