Question

Как решить интеграл, dx/e^x + 1, методом подстановки ?

Answer 1

Ответ:

$\int\limits \frac{dx}{e {}^{x} + 1} \\ \\ \\ {e}^{x} + 1 = t \\ {e}^{x} = t - 1\\ e {}^{x} dx = dt \\ dx = \frac{dt}{e {}^{x} } = \frac{dt}{t - 1} \\ \\ \int\limits \frac{dt}{t(t - 1)}$

Разложим на простейшие дроби

$\frac{1}{t(t - 1)} = \frac{a}{t} + \frac{b}{t - 1} \\ 1 = a(t - 1) + bt \\ 1 = at - a + bt \\ \\ 0 = a + b \\ 1 = - a \\ \\ a = - 1 \\ b = - a = 1 \\ \\ \\ - \int\limits \frac{dt}{t} + \int\limits \frac{dt}{t - 1} = \\ = - ln( |t| ) + ln( |t - 1| ) + C= \\ = - ln( | {e}^{x} + 1| ) + ln( | {e}^{x} | ) + C= \\ = - ln( | {e}^{x} + 1| ) + x + C$

Answer 2

Для решения интеграла ∫(dx/(e^x + 1)) методом подстановки, давайте воспользуемся следующей подстановкой:

Пусть u = e^x + 1, тогда du = e^x dx.

Теперь заметим, что интеграл может быть переписан в следующем виде:

∫(dx/(e^x + 1)) = ∫(du/u).

Интеграл от du/u равен ln|u| + C, где C - произвольная постоянная.

Теперь подставим обратно u = e^x + 1:

ln|e^x + 1| + C.

Это и есть окончательный ответ.